Какова производная от f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Способ 1:

Мы начнем с использования правила изменения базы, чтобы переписать #f (х) # эквивалентно как:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Мы знаем это # d / dx ln x = 1 / x #.

(если эта личность выглядит незнакомой, проверьте некоторые видео на этой странице для дальнейшего объяснения)

Итак, мы применим правило цепочки:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

Производная от # ln x / 6 # будет # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

Упрощение дает нам:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Способ 2:

Первое, что нужно отметить, это то, что только # d / dx ln (x) = 1 / x # где #ln = log_e #, Другими словами, только если база # Е #.

Поэтому мы должны преобразовать # Log_6 # к выражению, имеющему только #log_e = ln #, Это мы делаем, используя тот факт,

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # когда # П = е #

Теперь пусть #z = (ln x / ln 6) # чтобы #f (x) = z ^ 2 #

Следовательно, #f '(x) = d / dx z ^ 2 = (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #

# = (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

# = (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) #