Что такое бесконечность? + Пример

Ответ:

На это нельзя ответить без контекста. Вот некоторые из применений в математике.

Объяснение:

Множество имеет бесконечное количество элементов, если оно может быть отображено один в один на собственное подмножество. Это не использование бесконечности в исчислении.

В исчислении мы используем «бесконечность» тремя способами.

Интервальная запись:

Символы # Оо # (соответственно # -Со #) используются для указания того, что интервал не имеет правой (соответственно левой) конечной точки.

Интервал # (2, оо) # такой же, как набор #Икс#

Бесконечные пределы

Если лимит не существует, потому что как #Икс# подходы # A #, значения #f (х) # увеличиваем без ограничений, тогда пишем #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Обратите внимание: фраза «без границ» имеет большое значение. Nubers:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # увеличиваются, но ограничены выше. (Они никогда не попадают или не проходят #1#.)

Пределы в Бесконечности

Фраза «предел в бесконечности» используется, чтобы указать, что мы спросили, что происходит с #f (х) # как #Икс# увеличивается без ограничений.

Примеры включают

Предел как #Икс# увеличивается без ограничения # Х ^ 2 # не существует, потому что, как #Икс# увеличивается без ограничений, # Х ^ 2 # также увеличивается без ограничений.

Это написано #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # и мы часто читаем это

«Предел как #Икс# уходит в бесконечность, из # Х ^ 2 # это бесконечность

Лимит #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # указывает на то, что, как #Икс# увеличивается без ограничений, # 1 / х # подходы #0#.

Ответ:

Это зависит от контекста…

Объяснение:

#bb + - # Бесконечность и пределы

Рассмотрим множество действительных чисел # RR #часто изображается в виде линии с отрицательными числами слева и положительными числами справа. Мы можем добавить две точки под названием # + Оо # а также # -Со # которые не совсем работают как числа, но имеют следующее свойство:

#AA x в RR, -oo <x <+ oo #

Тогда мы можем написать #lim_ (х -> + оо) # означать предел как #Икс# становится все более позитивным без верхней границы и #lim_ (х -> - оо) # означать предел как #Икс# становится все более отрицательным без нижней границы.

Мы также можем написать такие выражения, как:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… это означает, что ценность # 1 / х # увеличивается или уменьшается без ограничения как #Икс# подходы #0# от «справа» или «слева».

Так что в этих контекстах # + - оо # действительно стенография, чтобы выразить условия или результаты ограничивающих процессов.

Бесконечность как завершение # RR # или же # CC #

Проективная линия # RR_oo # и риманова сфера # CC_oo # образуются путем добавления одной точки под названием # Оо # в # RR # или же # CC # - «точка в бесконечности».

Затем мы можем расширить определение функций, таких как #f (z) = (az + b) / (cz + d) # быть непрерывным и четко определенным в целом # RR_oo # или же # CC_oo #, Эти преобразования Мёбиуса особенно хорошо работают на # C_oo #где они отображают круги на круги.

Бесконечность в теории множеств

Размер (кардинальность) множества целых чисел бесконечен, известен как счетная бесконечность. Георг Кантор обнаружил, что число действительных чисел строго больше этой счетной бесконечности. В теории множеств существует множество бесконечностей возрастающих размеров.

Бесконечность как число

Можем ли мы на самом деле рассматривать бесконечность как числа? Да, но все работает не так, как вы ожидаете все время. Например, мы могли бы с радостью сказать, # 1 / oo = 0 # а также # 1/0 = oo #, но какова ценность # 0 * оо? #

Существуют системы счисления, которые включают бесконечности и бесконечно малые числа (бесконечно малые числа). Они дают интуитивную картину результатов предельных процессов, таких как дифференцирование, и могут быть строго обработаны, но есть немало ловушек, которых следует избегать.