Как рассчитать сумму этого? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

принимая во внимание #abs x <1 #

# сумма_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

но # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # а также

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # затем

# сумма_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Ответ:

# сумма_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # когда # | Х | <1 #

Объяснение:

Мы начнем с выписывания некоторых коэффициентов:

# сумма_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Первое, что мы хотим посмотреть, это коэффициенты (степень #Икс# может быть легко отрегулирован путем умножения и деления ряда на #Икс#так что они не так важны). Мы видим, что все они кратны двум, поэтому мы можем выделить коэффициент два:

# 2 = (х ^ 2-3x ^ 3 + 6х ^ 4-10x ^ 5 …) #

Коэффициенты внутри этой круглой скобки можно распознать как биномиальный ряд со степенью # Альфа = -3 #:

# (1 + х) ^ альфа = 1 + alphax + (альфа (альфа-1)) / (2!) Х ^ 2 + (альфа (альфа-1) (альфа-2)) / (3!) Х ^ 3 … #

# (1 + х) ^ - 3 = 1-3X + 6х ^ 2-10x ^ 3 … #

Мы замечаем, что показатели всех слагаемых в скобках больше на два по сравнению с только что полученными рядами, поэтому мы должны умножить # Х ^ 2 # чтобы получить правильную серию:

# 2x ^ 2 (1 + х) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Это означает, что наш ряд (когда он сходится) равен:

# (2x ^ 2) / (1 + х) ^ 3 #

Просто чтобы убедиться, что мы не ошиблись, мы можем быстро использовать биномиальную серию для вычисления ряда для # 2x ^ 2 (1 + х) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + х) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3X + ((- 3) (- 4)) / (2) х ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) х ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3X + (4!) / (2 * 2!) Х ^ 2- (5!) / (2 * 3!) Х ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3X + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Мы можем описать этот шаблон так:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (п-1) х ^ п #

Так как первый срок просто #0#мы можем написать:

# сумма_ (n = 1) ^ оо (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

с какой серии мы начали, проверяя наш результат.

Теперь нам просто нужно выяснить интервал сходимости, чтобы увидеть, когда ряд действительно имеет значение. Мы можем сделать это, посмотрев на условия сходимости биномиального ряда и обнаружив, что ряд сходится, когда # | Х | <1 #