Какова производная от f (x) = sec ^ -1 (x)?

# d / dx sec ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Процесс:

Во-первых, мы немного упростим уравнение. Возьмите секущую с обеих сторон:

#y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

Далее переписать с точки зрения # соз #:

# 1 / cos y = x #

И решить для # У #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = уютный #

#y = arccos (1 / x) #

Теперь это выглядит намного проще для дифференциации. Мы знаем это

# d / dx arccos (alpha) = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)) #

поэтому мы можем использовать эту идентичность, а также правило цепочки:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Немного упрощения:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Еще немного упрощения:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Чтобы сделать уравнение немного красивее, я переместу # Х ^ 2 # внутри радикала:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Некоторое окончательное сокращение:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

И есть наша производная.

При дифференцировании обратных функций триггера ключ получает их в форме, с которой легко иметь дело. Более всего, они являются упражнением в вашем знании тригономичности и алгебраических манипуляций.