Исчисление

Ответ 1 Если вы хотите получить частные производные функции f (x, y) = sin (x ^ 2y ^ 2), это: f_x (x, y) = 2xy ^ 2cos (x ^ 2y ^ 2) и f_y (x, у) = 2x ^ 2ycos (х ^ 2y ^ 2). Ответ 2 Если мы рассматриваем y как функцию от x и ищем d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2)), ответом будет: d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2) )) = [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y (dy) / (dx)] cos (x ^ 2y ^ 2) Найдите это, используя неявное дифференцирование (правило цепочки) и правило произведения. d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2)) = [cos (x ^ 2y ^ 2)] * d / (dx) (x ^ 2y ^ 2) == [cos (x ^ 2y ^ 2) ] * [2xy ^ 2 + x ^ 2 2y (dy) / (dx)] = [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y (dy) / (dx)] cos (x ^ 2y ^ 2) Подробнее »

Степенное правило: (dy) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) Степенное правило + цепное правило: (dy) / (dx) [u ^ n] = n * u ^ (n -1) * (du) / (dx) Пусть u = 2x, поэтому (du) / (dx) = 2 У нас осталось y = sqrt (u), которое можно переписать как y = u ^ (1/2) Теперь (dy) / (dx) можно найти с помощью правила мощности и правила цепочки. Возвращаясь к нашей проблеме: (dy) / (dx) = 1/2 * u ^ (- 1/2) * (du) / (dx), подключив (du) / (dx), получаем: (dy) / ( dx) = 1/2 * u ^ (- 1/2) * (2) мы знаем, что: 2/2 = 1, следовательно, (dy) / (dx) = u ^ (- 1/2) Включение значения для вас мы находим, что: (dy) / (dx) = 2x ^ (- 1/2) Подробнее »

Dy / dx = (ycos (xy)) / (1-xcos (xy)) Используя неявное дифференцирование, правило произведения и правило цепочки, получаем d / dxy = d / dxsin (xy) => dy / dx = cos (xy) (d / dx (xy)) = cos (xy) [x (d / dxy) + y (d / dxx)] = cos (xy) (xdy / dx + y) = xcos (xy) dy / dx + ycos (xy) => dy / dx - xcos (xy) dy / dx = ycos (xy) => dy / dx (1-xcos (xy)) = ycos (xy):. dy / dx = (ycos (xy)) / (1-xcos (xy)) Подробнее »

Это дает нам уравнение импульса относительно скорости ... Функция или уравнение для кинетической энергии: bb (KE) = 1 / 2mv ^ 2 Взяв производную по скорости (v), получим: d / (dv) (1 / 2mv ^ 2) Извлеките константы, чтобы получить: = 1 / 2m * d / (dv) (v ^ 2) Теперь используйте правило мощности, которое гласит, что d / dx (x ^ n) = nx ^ (n- 1) получить: = 1 / 2m * 2v Упростить, чтобы получить: = mv Если вы изучаете физику, вы должны четко видеть, что это уравнение для импульса, и утверждает, что: p = mv Подробнее »

(dv) / dt = (2pirh) / 3 ((dr) / dt) + (pir ^ 2) / 3 ((dh) / dt), если вы делаете связанные ставки, вы, вероятно, дифференцируетесь по t или время: d / dt (v) = d / dt (pi / 3r ^ 2h) (dv) / dt = pi / 3d / dt (r ^ 2h) (dv) / dt = pi / 3 (d / dt ( r ^ 2) h + d / dt (h) r ^ 2) (dv) / dt = pi / 3 (2rd / dt (r) h + (dh) / dtr ^ 2) (dv) / dt = pi / 3 (2r ((dr) / dt) h + ((dh) / dt) r ^ 2) (dv) / dt = (2pirh) / 3 ((dr) / dt) + (pir ^ 2) / 3 ((dh ) / дт) Подробнее »

Что ж, когда я думаю о производной по времени, я думаю о том, что что-то меняется, а когда возникает напряжение, я думаю о конденсаторах. Конденсатор - это устройство, которое может хранить заряд Q при подаче напряжения V. Это устройство имеет характеристики (физические, геометрические), описываемые константой, называемой емкостью C. Соотношение между этими величинами: Q (t) = C * V (t). Если вы вычислите время, вы получите ток через конденсатор для переменное напряжение: d / dtQ (t) = Cd / dtV (t) где производная Q (t) - ток, то есть: i (t) = Cd / dtV (t) Это уравнение говорит вам, что когда напряжение не меняется через к Подробнее »

Dy / dx = x ^ (1 / x) ((1-lnx) / x ^ 2) В этих ситуациях, когда функция возводится в степень функции, мы будем использовать логарифмическое дифференцирование и неявное дифференцирование следующим образом: y = x ^ (1 / x) lny = ln (x ^ (1 / x)) Из того факта, что ln (a ^ b) = blna: lny = lnx / x Дифференцировать (левая сторона будет дифференцирована неявно): 1 / y * dy / dx = (1-lnx) / x ^ 2 Решите для dy / dx: dy / dx = y ((1-lnx) / x ^ 2) Напоминая, что y = x ^ (1 / x): ду / дх = х ^ (1 / х) ((1-LNX) / х ^ 2) Подробнее »

Ссылка на изображение ... Надеюсь, это поможет .... Подробнее »

Dy / dx = -1/2 при (x, y) = (8, 1) Сначала давайте найдем dy / dx с использованием неявного дифференцирования: d / dx (x ^ (2/3) + y ^ (2/3) ) = d / dx5 => 2 / 3x ^ (- 1/3) + 2 / 3y ^ (- 1/3) dy / dx = 0 => 2 / 3y ^ (- 1/3) dy / dx = - 2 / 3x ^ (- 1/3) => dy / dx = - (x / y) ^ (- 1/3) Теперь мы оценим dy / dx в заданной точке (x, y) = (8, 1) dy / dx | _ ((x, y) = (8,1)) = - (8/1) ^ (- 1/3) = -8 ^ (- 1/3) = -1 / 2 Подробнее »

1/2 (x / 2) '= 1/2 (x)' = 1/2 * 1 = 1/2 Подробнее »

Y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x Вы можете дифференцировать эту функцию, используя правила сумм и степеней. Обратите внимание, что вы можете переписать эту функцию как y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = [x (x + 1)] ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 Теперь правило сумм говорит вам, что для функций, которые принимают форму y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x), вы можно найти производную от у, добавив производные этих отдельных функций. цвет (синий) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + ... В вашем случае у вас есть y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / Подробнее »

Y = x ^ (e), поэтому y '= e * x ^ (e-1) Так как e является просто константой, мы можем применить степенное правило для производных, которое говорит нам, что d / dx [x ^ n] = n * x ^ (n-1), где n - постоянная. В этом случае у нас есть у = х ^ (е), поэтому у '= е * х ^ (е-1) Подробнее »

Dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) Мы имеем: y = x ^ x Давайте возьмем натуральный логарифм с обеих сторон. ln (y) = ln (x ^ x) Используя тот факт, что log_a (b ^ c) = clog_a (b), => ln (y) = xln (x) Примените d / dx с обеих сторон. => d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) Правило цепочки: если f (x) = g (h (x)), то f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) Степенное правило: d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1), если n является константой. Кроме того, d / dx (lnx) = 1 / x Наконец, правило произведения: если f (x) = g (x) * h (x), то f '(x) = g' (x) * h (x) ) + g (x) * h '(x) Имеем: => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x Подробнее »

Для функции f (x) = x ^ n n не должно быть равно 0, по причинам, которые станут понятны. n также должно быть целым или рациональным числом (то есть дробью). Правило: f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) Другими словами, мы «заимствуем» степень x и сделаем ее коэффициентом производной, а затем вычесть 1 из мощности. f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 f (x) = x ^ 7 => f' (x) = 7x ^ 6 f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) Как я уже говорил, особый случай - это когда n = 0. Это означает, что f (x) = x ^ 0 = 1. Мы можем использовать наше правило и технически получить правильный отве Подробнее »

F '(x) = 2x / x ^ (1/2) X ^ (1/2) 1 + x ^ (- 1/2) x X / x ^ (1/2) + x / x ^ (1 / 2) 2x / x ^ (1/2) Подробнее »

Мы можем решить эту проблему в несколько шагов, используя неявное дифференцирование. Шаг 1) Возьмите производную обеих сторон по x. (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) = (Delta) / (Deltax) (x) Шаг 2) Чтобы найти (Delta) / (Deltax) (y ^ 2), мы должны использовать правило цепи, потому что переменные разные. Цепное правило: (Дельта) / (Дельтакс) (u ^ n) = (n * u ^ (n-1)) * (u ') Включение нашей задачи: (Дельта) / (Дельтакс) (y ^ 2) = (2 * y) * (Deltay) / (Deltax) Шаг 3) Найдите (Delta) / (Deltax) (x) с простым степенным правилом, поскольку переменные одинаковы. Правило питания: (Delta) / (Deltax) (x ^ n) = (n * x ^ (n-1)) Подключе Подробнее »

Dy / dx = x + x ^ -3> "дифференцировать, используя" силовое правило "color (blue)" • color (white) (x) d / dx (ax ^ n) = nax ^ (n-1) y = 1 / 2x ^ 2-1 / 2x ^ -2 rArrdy / dx = (2xx1 / 2) x ^ (2-1) - (- 2xx1 / 2) x ^ (- 2-1) цвет (белый) (rArrdy / дх) = х + х ^ -3 Подробнее »

Y = 3sin (x) sin (3x) y '= 3cosx- [cos (3x) * 3] color (white) (ttttt ["применение правила цепочки к" sin (3x)] y' = 3 (cosx-cos3x ) Подробнее »

Производная 4х. Для этого мы можем использовать степенное правило: frac d dx ax ^ n = nax ^ (n-1). Итак, если у нас есть y = 2x ^ 2 -5, единственный член, который включает в себя x, это 2x ^ 2, так что это единственный член, который мы должны найти производную от. (Производная константы, такой как -5, всегда будет 0, поэтому нам не нужно об этом беспокоиться, поскольку добавление или вычитание 0 не изменит нашу общую производную.) Следуя правилу степени, frac d dx 2x ^ 2 = 2 (2) х ^ (2-1) = 4х. Подробнее »

Y '= 8сек ^ 2 (x) tan (x) Объяснение: давайте начнем с общей функции, y = (f (x)) ^ 2, дифференцирующейся по x Используя правило цепочки, y' = 2 * f (x) * f '(x) Аналогичным образом для данной задачи следует, что y = 4 * sec ^ 2 (x) y' = 4 * 2 * sec (x) * sec (x) tan (x) y '= 8sec ^ 2 (x) ) загар (х) Подробнее »

Ответ: y '= sec (x). Полное объяснение. Предположим, y = ln (f (x)). Используя цепное правило, y' = 1 / f (x) * f '(x) Аналогично, если мы будем следовать задаче , тогда у '= 1 / (сек (х) + тан (х)) * (сек (х) + тан (х))' у '= 1 / (сек (х) + тан (х)) * (сек (x) tan (x) + sec ^ 2 (x)) y '= 1 / (sec (x) + tan (x)) * sec (x) (sec (x) + tan (x)) y' = с (х) Подробнее »

Производная y = sec ^ 2x + tan ^ 2x имеет вид: 4sec ^ 2xtanx Процесс: поскольку производная суммы равна сумме производных, мы можем просто получить sec ^ 2x и tan ^ 2x отдельно и сложить их вместе , Для производной sec ^ 2x мы должны применить правило цепочки: F (x) = f (g (x)) F '(x) = f' (g (x)) g '(x) с внешним функция х ^ 2, а внутренняя функция сек. Теперь мы находим производную внешней функции, сохраняя внутреннюю функцию такой же, а затем умножаем ее на производную внутренней функции. Это дает нам: f (x) = x ^ 2 f '(x) = 2x g (x) = secx g' (x) = secxtanx Подставляя их в нашу формулу правила цепоч Подробнее »

По правилу произведения мы можем найти y '= secx (1 + 2tan ^ 2x). Давайте посмотрим на некоторые детали. y = secxtanx В соответствии с правилом продукта y '= secxtanx cdot tanx + secx cdot sec ^ 2x путем выведения sec x, = secx (tan ^ 2x + sec ^ 2x) по sec ^ 2x = 1 + tan ^ 2x, = secx ( 1 + 2tan ^ 2x) Подробнее »

Производная tanx равна sec ^ 2x. Чтобы понять почему, вам нужно знать несколько результатов. Во-первых, вам нужно знать, что производная sinx - это cosx. Вот доказательство этого результата из первых принципов: как только вы это знаете, это также означает, что производная cosx - это -inx (что вам также понадобится позже). Вам нужно знать еще одну вещь, а именно: фактор-правило для дифференциации: как только все эти фрагменты будут на месте, дифференциация будет выглядеть следующим образом: d / dx tanx = d / dx sinx / cosx = (cosx. Cosx-sinx. ( -sinx)) / (потому что ^ 2x) (используя факторное правило) = (потому что ^ 2x + s Подробнее »

D / dx (x ^ 2 5x + 10) = 2x-5 Степенное правило дает производную от выражения вида x ^ n. d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} Нам также понадобится линейность производной d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * d / dx ( f (x)) + b * d / dx (g (x)) и что производная константы равна нулю. Мы имеем f (x) = x ^ 2 5x + 10 d / dxf (x) = d / dx (x ^ 2–5x + 10) = d / dx (x ^ 2) 5d / dx (x) + д / дх (10) = 2 * x ^ 1-5 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x-5 Подробнее »

Различий нет, два слова являются синонимами. Подробнее »

Неопределенные интегралы не имеют нижних / верхних пределов интегрирования. Они являются общими анти-производными, поэтому они дают функции. int f (x) dx = F (x) + C, где F '(x) = f (x) и C - любая константа. Определенные интегралы имеют нижний и верхний пределы интегрирования (а и б). Они дают значения. int_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a), где F '(x) = f (x). Я надеюсь, что это было полезно. Подробнее »

Скорость - это вектор, а скорость - это величина. Напомним, что вектор имеет направление и величину. Скорость это просто величина. Направление может быть как простым, так и отрицательным. Величина всегда положительна. В случае положительного / отрицательного направления (1D) мы можем использовать абсолютное значение, | v |. Однако, если вектор 2D, 3D или выше, вы должны использовать евклидову норму: || v ||. Для 2D это || v || = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2). И как вы можете догадаться, 3D это: || v || = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2) Подробнее »

Теорема о промежуточных значениях (IVT) говорит, что функции, которые являются непрерывными на интервале [a, b], принимают все (промежуточные) значения между их крайностями. Теорема об экстремальных значениях (EVT) говорит, что функции, которые непрерывны на [a, b], достигают своих экстремальных значений (высокого и низкого). Вот утверждение EVT: Пусть f непрерывна на [a, b]. Тогда существуют числа c, d in [a, b] такие, что f (c) leq f (x) leq f (d) для всех x in [a, b]. Другими словами, «супремум» M и «инфимум» m диапазона {f (x): x in [a, b] } существуют (они конечны) и существуют числа c, d in [a, b] Подробнее »

Если вы пытаетесь определить сходимость суммы {a_n}, то вы можете сравнить ее с суммой b_n, сходимость которой известна. Если 0 leq a_n leq b_n и сумма b_n сходится, то сумма a_n также сходится. Если a_n geq b_n geq 0 и сумма b_n расходится, то сумма a_n также расходится. Этот тест очень интуитивен, поскольку все, что он говорит, это то, что, если большая серия совпадает, то и меньшая серия также сходится, а если меньшая серия расходится, то большая серия расходится. Подробнее »

Int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 = 1/4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 = int ("d" x) / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) Теперь давайте сделаем частичные дроби. Предположим, что 1 / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) = A / (x + 1) + B / (x + 1) ^ 2 + C / (x-1) + D / ( x-1) ^ 2 для некоторых констант A, B, C, D. Тогда 1 = A (x + 1) (x-1) ^ 2 + B (x-1) ^ 2 + C (x + 1) ^ 2 (x-1) + D (x + 1) ^ 2 Развернуть чтобы получить 1 = (A + C) x ^ 3 + (B + C + DA) x ^ 2 + (2D-2B-AC) x + A + B-C + D. Выравнивающие коэффициенты: {(A + C = 0), (B + C + DA = 0), (2D-2B-AC = 0), (A + B-C + D = 1): Подробнее »

3 "Мгновенная скорость изменения f (x) при x = a" означает "производную от f (x) при x = a. Производная в точке представляет собой скорость изменения функции в этой точке или мгновенную скорость изменения , часто представленная касательной с наклоном f '(a). f (x) = 3x + 5 f' (x) = 3, производная от константы равна нулю, что означает, что пять здесь не играет роли. Итак, при x = 1 или при любом x фактически скорость изменения равна 3. Подробнее »

F '(x) = 2xe ^ (x ^ 2) У нас есть цепное правило, у нас есть внешняя функция f (u) = e ^ u и внутренняя функция u = x ^ 2 Цепное правило выводит обе функции и затем умножает производные, поэтому f '(u) * u' f '(u) = e ^ u u' = 2x Mutply производные 2xe ^ u = 2xe ^ (x ^ 2) = f '(x) Подробнее »

Без изменений f '' '' (x) = - 5e ^ x Просто выведите его 4 раза. Правило получения e ^ xf (x) = e ^ x rArre ^ xf (x) = - 5e ^ x f '(x) = -5e ^ x f '' (x) = - 5e ^ x f '' '(x) = - 5e ^ x f' '' '(x) = - 5e ^ x Подробнее »

Ln (2) +1/2 (х-2) -1/8 (х-2) ^ 2 + 1/24 (х-2) ^ 3. Общая форма разложения Тейлора с центром в аналитической функции f имеет вид f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (X-a) ^ n. Здесь f ^ ((n)) является n-й производной от f. Полином Тейлора третьей степени - это полином, состоящий из первых четырех (n в диапазоне от 0 до 3) членов полного разложения Тейлора. Следовательно, этот многочлен имеет вид f (a) + f '(a) (xa) + (f' '(a)) / 2 (xa) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (xa) ^ 3 , f (x) = ln (x), поэтому f '(x) = 1 / x, f' '(x) = - 1 / x ^ 2, f' '' (x) = 2 / x ^ 3. Таким образом, Подробнее »

Ответ: Домен x в [-6 / 5, oo) Диапазон [0, oo) Следует учитывать, что для домена: sqrt (y) -> y> = 0 ln (y) -> y> 0 1 / y-> y! = 0 После этого вас приведет к неравенству, дающему вам домен. Эта функция является комбинацией линейных и квадратных функций. Линейный имеет домен RR. Функция квадрата должна иметь положительное число внутри квадрата. Следовательно: (5x + 6) / 2> = 0 Поскольку 2 положительно: 5x + 6> = 0 5x> = -6 Поскольку 5 положительно: x> = -6/5 Область функций: x in [ -6 / 5, oo) Диапазон корневой функции (внешней функции) равен [0, oo) (бесконечная часть может быть доказана через пр Подробнее »

F '(x) = (ye ^ y) / ((yx) ^ 2 + ye ^ y-xe ^ y + xe ^ y) Сначала мы должны познакомиться с некоторыми правилами исчисления f (x) = 2x + 4. можно дифференцировать 2x и 4 отдельно f '(x) = dy / dx2x + dy / dx4 = 2 + 0 = 2 Аналогично мы можем дифференцировать 4, y и - (xe ^ y) / (yx) отдельно dy / dx4 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Мы знаем, что дифференцирующие константы dy / dx4 = 0 0 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Аналогично правилу дифференцирования y является dy / dxy = dy / dx 0 = dy / dx-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Наконец, чтобы дифференцировать (xe ^ y) / (yx), мы должны использовать правило отношения Пуст Подробнее »

Dy / dx = (ye ^ (xy) y ^ 3) / (x-xe ^ (xy) y ^ 2) 1 = x / ye ^ (xy) Сначала мы должны знать, что мы можем дифференцировать каждую часть отдельно. Возьмем y = 2x + 3 мы можем дифференцировать 2x и 3 отдельно dy / dx = dy / dx2x + dy / dx3 rArrdy / dx = 2 + 0 Таким образом, аналогично мы можем дифференцировать 1, x / y и e ^ (xy) отдельно dy / dx1 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) Правило 1: dy / dxC rArr 0 производная от константы равна 0 0 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) dy / dxx / y, мы должны дифференцируйте это, используя частное правило Правило 2: dy / dxu / v rArr ((du) / dxv- (dv) / dxu) / v ^ 2 или (vu'-uv ') / Подробнее »

F '(x) = (4e ^ (2x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2sin ((1-e ^ (2x)) / (1 + e ^ (2x))) Мы имеем дело с частное правило внутри правила цепи Правило цепи для косинуса cos (s) rArr s '* - sin (s) Теперь нам нужно сделать частное правило s = (1-e ^ (2x)) / (1 + e ^ ( 2x)) dy / dxu / v = (u'v-v'u) / v ^ 2 Правило для выведения электронного правила: e ^ u rArr u'e ^ u Получите верхнюю и нижнюю функции 1-e ^ (2x ) rArr 0-2e ^ (2x) 1 + e ^ (2x) rArr 0 + 2e ^ (2x) Поместите его в фактор-правило s '= (u'v-v'u) / v ^ 2 = (- 2e ^ (2x) (1 + e ^ (2x)) - 2e ^ (2x) (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 Просто s '= ( Подробнее »

A = 2sqrt2 Формула для параметрической длины дуги: A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt Начнем с нахождения двух производных: dx / dt = 1 и dy / dt = 1 Это означает, что длина дуги: A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = [sqrt2t] _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 Фактически , поскольку параметрическая функция очень проста (это прямая линия), нам даже не нужна интегральная формула. Если мы построим функцию на графике, мы можем просто использовать формулу обычного расстояния: A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt ( 4 * 2) = 2sqrt2 Это дает нам тот же результ Подробнее »

Интеграл расходится. Мы могли бы использовать тест сравнения для несобственных интегралов, но в этом случае интеграл настолько прост для оценки, что мы можем просто вычислить его и посмотреть, является ли значение ограниченным. int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = [2sqrtx] _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) ( 2sqrtx) = oo Это означает, что интеграл расходится. Подробнее »

=> (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c Продолжение ... Пусть 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 => sqrt ( 3) / 2 u = x-1/2 => sqrt (3) / 2 du = dx => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du Использование анти-производного, что должно быть зафиксировано в памяти ... => ( 2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c => u = (2x-1) / sqrt3 => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c Подробнее »

F (x) является вогнутым в x = -3 примечание: вогнутый вверх = выпуклый, вогнутый вниз = вогнутый Сначала мы должны найти интервалы, на которых функция вогнута вверх и вогнута вниз. Мы делаем это, находя вторую производную и устанавливая ее равной нулю, чтобы найти значения x f (x) = (x-9) ^ 3 - x + 15 d / dx = 3 (x-9) ^ 2 - 1 d ^ 2 / dx ^ 2 = 6 (x-9) 0 = 6x - 54 x = 9 Теперь мы проверим значения x во второй производной по обе стороны от этого числа для положительных и отрицательных интервалов. положительные интервалы соответствуют вогнутым вверх, а отрицательные интервалы соответствуют вогнутым вниз, когда x <9: отрицат Подробнее »

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Сначала мы можем использовать тождество: 2sinthetacostheta = sin2x, которое дает: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Теперь мы можем использовать интеграцию по частям. Формула имеет вид: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx. Я позволю f (x) = sin ( 2x) и g '(x) = e ^ x / 2. Применяя формулу, мы получаем: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Теперь мы можем применить интеграцию по частям еще раз , на этот раз с f (x) = cos (2x) и g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e Подробнее »

Общее решение: y = 1-1 / (e ^ t + C) Мы имеем: dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 Мы можем собрать термины для похожих переменных: 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t, который является отделимым обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка, поэтому мы можем «разделить переменные», чтобы получить: int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt Оба интеграла являются интегралами стандартных функций, поэтому мы можем использовать эти знания для прямой интеграции: -1 / (y-1) = e ^ t + C И мы можем легко переставить y: - (y-1) = 1 / (e ^ t + C):. 1-y = 1 / (e ^ t + C), что приводит к общему решению: y = 1-1 / (e ^ t + C) Подробнее »

-2sin (2t) / (cos (2t) ^ 2 + 1) Производная tan ^ -1 (x) равна 1 / (x ^ 2 + 1), когда мы заменяем cos (2t) на x, мы получаем 1 / ( cos (2t) ^ 2 + 1) Затем мы применяем правило цепи для cos (2t) 1 / (cos (2t) ^ 2 + 1) * -2sin (2t). Наш окончательный ответ - -2sin (2t) / (cos (2t) ^ 2 + 1) Подробнее »

Сходится с помощью теста прямого сравнения. Мы можем использовать тест прямого сравнения, поскольку у нас есть sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2), т.е. серия начинается с единицы. Чтобы использовать тест прямого сравнения, мы должны доказать, что a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) положительно на [1, oo). Во-первых, отметим, что на интервале [1, oo) cos (1 / k) положительно. Для значений х = 1, 1 / кПодробнее »

D / (dx) ln (e ^ (4x) + 3x) = (4e ^ (4x) +3) / (e ^ (4x) + 3x) Производная от lnx равна 1 / x Таким образом, производная от ln (e ^ ( 4x) + 3x) равно 1 / (e ^ (4x) + 3x) d / dx (e ^ (4x) + 3x) (правило цепочки) Производная от e ^ (4x) + 3x равна 4e ^ (4x) +3 Таким образом, производная от ln (e ^ (4x) + 3x) равна 1 / (e ^ (4x) + 3x) * (4e ^ (4x) +3) = (4e ^ (4x) +3) / (e ^ ( 4x) + 3x) Подробнее »

Вот так: Антипроизводная или примитивная функция достигается интегрированием функции. Эмпирическое правило здесь, если вас попросят найти антипроизводную / интеграл функции, которая является полиномиальной: возьмите функцию и увеличьте все индексы x на 1, а затем разделите каждый член на их новый индекс x. Или математически: int x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ C) Вы также добавляете константу к функции, хотя константа в этой задаче будет произвольной. Теперь, используя наше правило, мы можем найти примитивную функцию F (x). Р (х) = ((8х ^ (3 + 1)) / (3 + 1)) + ((5x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) + ((- 9х ^ (1 + 1 )) / (1 + 1)) + ( Подробнее »

Нет. Во-первых, наблюдаем функцию f (x) = -2 ^ x. Очевидно, что эта функция убывающая и отрицательная (то есть ниже оси x) в своей области. В то же время рассмотрим функцию h (x) = 1-x ^ 2 на интервале 0 <= x <= 1. Эта функция уменьшается в течение указанного интервала. Однако это не отрицательно. Следовательно, функция не должна быть отрицательной в течение интервала, на который она уменьшается. Подробнее »

Y = 1 / 108x-3135/56 Нормальная линия касательной перпендикулярна касательной. Мы можем найти наклон касательной линии, используя производную исходной функции, а затем взять ее обратную обратную величину, чтобы найти наклон нормальной линии в той же точке. f (x) = 3x ^ 4-x ^ 3 f '(x) = 12x ^ 3-3x ^ 2 f' (- 2) = 12 (-2) ^ 3-3 (-2) ^ 2 = 12 ( -8) -3 (4) = - 108 Если -108 - это наклон касательной, то наклон нормальной линии равен 1/108. Точка на f (x), по которой будет пересекаться нормальная линия, - (-2, -56). Мы можем записать уравнение нормальной линии в форме точки наклона: y + 56 = 1/108 (x + 2) В форме пересече Подробнее »

Y = x / 4 + 23/4 f (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 7x-1 Градиентная функция является первой производной f '(x) = 3x ^ 2 + 6x + 7 Таким образом, градиент при X = -1 - 3-6 + 7 = 4 Градиент нормали, перпендикулярной касательной, равен -1/4. Если вы не уверены в этом, нарисуйте линию с градиентом 4 на прямоугольной бумаге и нарисуйте перпендикуляр. Таким образом, нормаль y = -1 / 4x + c Но эта линия проходит через точку (-1, y) Из исходного уравнения, когда X = -1 y = -1 + 3-7-1 = 6 Итак, 6 = -1 / 4 * -1 + с C = 23/4 Подробнее »

12x ^ 3-8x "и" 36x ^ 2-8> "различают, используя" силовое правило "color (blue)" • color (white) (x) d / dx (ax ^ n) = nax ^ (n-1 ) dy / dx = (4xx3) x ^ 3- (2xx4) x + 0 цвет (белый) (dy / dx) = 12x ^ 3-8x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 36x ^ 2-8 Подробнее »

Y '' = 12x ^ 2-12 В данном упражнении производная этого выражения основана на дифференцировании степенного правила, которое гласит: цвет (синий) (dx ^ n / dx = nx ^ (n-1)) First производная: y = x ^ 4-6x ^ 2 + 8x + 8 y '= 4x ^ 3-12x + 8 Вторая производная: y' '= 12x ^ 2-12 Подробнее »

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(первая производная)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(вторая производная)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(первая производная)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 года) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 года) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- х ^ -1 + 1) "(вторая производная)" Подробнее »

Тест первой производной для локальных экстремумов Пусть x = c - критическое значение f (x). Если f '(x) меняет знак с + на - вокруг x = c, то f (c) является локальным максимумом. Если f '(x) меняет знак с - на + вокруг x = c, то f (c) является локальным минимумом. Если f '(x) не меняет своего знака вокруг x = c, то f (c) не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом. Подробнее »

Если первая производная уравнения положительна в этой точке, то функция увеличивается. Если оно отрицательное, функция уменьшается. Если первая производная уравнения положительна в этой точке, то функция увеличивается. Если оно отрицательное, функция уменьшается. См. Также: http://mathworld.wolfram.com/FirstDerivativeTest.html Предположим, что функция f (x) непрерывна в стационарной точке x_0. Если f ^ '(x)> 0 на открытом интервале, продолжающемся влево от x_0, и f ^' (x) <0 на открытом интервале, продолжающемся вправо от x_0, то f (x) имеет локальный максимум (возможно, глобальный максимум) в х_0. Если f ^ & Подробнее »

Тест первой производной для локальных экстремумов Пусть x = c - критическое значение f (x). Если f '(x) меняет знак с + на - вокруг x = c, то f (c) является локальным максимумом. Если f '(x) меняет знак с - на + вокруг x = c, то f (c) является локальным минимумом. Если f '(x) не меняет своего знака вокруг x = c, то f (c) не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом. Подробнее »

= 0 lim_ (x-> 0) (sin ^ 2x) / x ---- lim_ (x-> 0) (sinx) / x = 1 умножить на lim_ (x-> 0) (sinx.sinx) / x = lim_ (x-> 0) (x) / x (sinx.sinx) / x lim_ (x-> 0) (x) / x (sinx.sinx) / x = lim_ (x-> 0) x (( sinx.sinx)) / (xx) = lim_ (x-> 0) (sinx / x) (sinx / x) (x) lim_ (x-> 0) (sinx / x) (sinx / x) (x) = 1.1.x = x lim_ (x-> 0) (sin ^ 2x) / x = lim_ (x-> 0) x lim_ (x-> 0) x = 0 Подробнее »

1 оо) | а_ (п + 1) / a_n |. Если L <1, ряд абсолютно сходится (и, следовательно, сходится). Если L> 1, ряд расходится. Если L = 1, коэффициент теста не является окончательным. Однако для серии Power Series возможны три варианта: а. Степенные ряды сходятся для всех действительных чисел; его интервал сходимости равен (-oo, oo) b. Степ Подробнее »

Р '(х) = (х (п (х ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2)) / (х ^ 2 + 3) = х / ((х ^ 2 + 3) (п (х ^ 2 + 3)) ^ (1/2)) = x / ((x ^ 2 + 3) sqrt (ln (x ^ 2 + 3))) Нам даны: y = (ln (x ^ 2 + 3) ) ^ (1/2) y '= 1/2 * (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1 / 2-1) * d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] y' = ( ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] = (d / dx [x ^ 2 + 3]) / (x ^ 2 + 3) d / dx [x ^ 2 + 3] = 2x y '= (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2) / 2 * (2x) / (х ^ 2 + 3) = (х (п (х ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2)) / (х ^ 2 + 3) = х / ((х ^ 2 + 3) (п (х ^ 2 + 3)) ^ (1/2)) = х / ((х ^ 2 + 3) SQRT (п (х ^ 2 + 3))) Подробнее »

F (x) = -1 / (ln (10)) [x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + ... + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2] Наглядно: посмотрите на этот график. Мы явно не можем оценить этот интеграл, так как он использует какие-либо обычные методы интеграции, которые мы изучили. Однако, поскольку он является определенным интегралом, мы можем использовать ряд Маклаурина и делать то, что называется термином, через интеграцию терминов. Нам нужно найти серию MacLaurin. Поскольку мы не хотим находить n-ю производную этой функции, нам нужно попытаться вписать ее в одну из известных нам серий Маклаурина. Во-первых, нам не нравится журнал; мы хотим сделать это Подробнее »

Sqrt (6) a ^ x = exp (x * ln (a)) = 1 + x * ln (a) + (x * ln (a)) ^ 2/2 + (x * ln (a)) ^ 3 / 6 + ... => 3 ^ x + 2 ^ x = 2 + x * (ln (3) + ln (2)) + x ^ 2 * (ln (3) ^ 2 + ln (2) ^ 2 ) / 2 + x ^ 3 * (ln (3) ^ 3 + ln (2) ^ 3) / 6 + ... = 2 + x * ln (6) + x ^ 2 * (... => ( 3 ^ x) ^ 2 + (2 ^ x) ^ 2 = 3 ^ (2x) + 2 ^ (2x) = 2 + 2 * x * ln (6) + 4 * x ^ 2 * (ln (2) ^ 2 + ln (3) ^ 2) / 2 + 8 * x ^ 3 * (ln (3) ^ 3 + ln (2) ^ 3) / 6 + ... => (3 ^ (2x) + 2 ^ (2x)) / (3 ^ x + 2 ^ x) = "1 + (x * ln (6) + 3 * x ^ 2 * ...) / (2 + x * ln (6) + x ^ 2 * ...) ~~ 1+ (x * ln (6)) / 2 "(для x" -> "0)" ", Подробнее »

Как уже упоминалось в комментариях ниже, это ряд Маклаурина для f (x) = cos (x), и мы знаем, что это сходится на (-oo, oo). Однако, если вы хотите увидеть процесс: поскольку у нас есть факториал в знаменателе, мы используем тест отношения, так как это немного упрощает упрощения. Эта формула: lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) Если это <1, ваша серия сходится Если это> 1, ваша серия расходится Если это = 1, ваш тест неокончательный , давайте сделаем это: lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ( (2k)!) / (X ^ (2k)) Примечание: будьте очень осторожны с тем, как вы подключите свой Подробнее »

Нет мин или макс. Точка перегиба при х = -2/3. graph {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 [-10, 10, -10, 20]} # Минусы и максимумы Для данного значения x (назовем его c) быть максимумом или минимумом для данного Функция должна удовлетворять следующему: f '(c) = 0 или не определено. Эти значения c также называют вашими критическими точками. Примечание. Не все критические точки являются максимальными / минимальными, но все максимальные / минимальные значения являются критическими точками. Итак, давайте найдем их для вашей функции: f '(x) = 0 => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 Это не имеет з Подробнее »

«См. Объяснение» «Возможно, мой ответ не совсем к сути, но я знаю» «о цвете (красном) (« преобразование Хопфа-Коула »).« «Преобразование Хопфа-Коула - это преобразование, которое отображает» «решение от« цвета (красный) («уравнение Бюргерса») »до« цвета (синего) («уравнение тепла») ». «Может быть, вы можете найти там вдохновение». Подробнее »

Др | _ (г = 10) = 0.45m // мин. Поскольку площадь круга равна A = pi r ^ 2, мы можем взять дифференциал с каждой стороны, чтобы получить: dA = 2pirdr Следовательно, радиус изменяется со скоростью dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir ) Таким образом, dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45 м / мин. Подробнее »

206,6 "км / ч" Это проблема, связанная с тарифами. Для таких проблем это ключ к рисованию. Рассмотрим диаграмму ниже: Далее мы напишем уравнение. Если мы назовем R расстоянием между машиной Роуз и перекрестком, а F расстоянием между машиной Фрэнка и перекрестком, как мы можем написать уравнение, определяющее расстояние между ними в любой момент времени? Что ж, если мы используем теорию pythogorean, мы находим, что расстояние между автомобилями (назовем это x) равно: x = sqrt (F ^ 2 + R ^ 2). Теперь нам нужно найти мгновенную скорость изменения x относительно время (т). Итак, мы берем производную обеих сторон этог Подробнее »

Е ^ х / 2 (син (х) + соз (х)) - пер | соз (х) | -1 / 2с ^ 2 (х) -cos (х) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) Начнем с разбиения интеграла на три: int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) Я назову левый интеграл 1, а правый - интеграл 2 Integral 1 Здесь нам нужна интеграция по частям и небольшая хитрость. Формула для интегрирования по частям: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx. В этом случае I ' пусть f (x) = e ^ x и g '(x) = cos (x). Мы получаем, что f '(x) = e ^ x и g (x) = sin (x). Эт Подробнее »

Вы можете использовать закон Стевина для оценки изменения давления на различных глубинах: вам также необходимо знать плотность морской воды (из литературы вы должны получить: 1,03хх10 ^ 3 (кг) / м ^ 3, что более или менее точный, учитывая, что, вероятно, из-за холодного моря (я думаю, что это было Баренцево море) и глубины, вероятно, изменится, но мы можем приблизиться, чтобы иметь возможность сделать наш расчет). Закон Стевина: P_1 = P_0 + rhog | h | Поскольку давление - это «сила» / «площадь», мы можем написать: «сила» = «давление» хх «площадь» = 1.06xx10 ^ 6xx4 = 4.24xx1 Подробнее »

Lim_ (x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) = sqrt (2) lim_ (x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) = lim_ ( x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) * sqrt (1 + cos (x)) / sqrt (1 + cos (x)) = lim_ (x-> 0) (xsqrt (1 + cos) (x))) / sqrt (1-cos ^ 2 (x)) = lim_ (x-> 0) (xsqrt (1 + cos (x))) / sin (x) = lim_ (x-> 0) x / sin (x) sqrt (1 + cos (x)) = lim_ (x-> 0) x / sin (x) * lim_ (x-> 0) sqrt (1 + cos (x)) = 1 * sqrt ( 2) = sqrt (2) Подробнее »

X ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) Выразите x ^ tanx как степень e: x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) = d / dxe ^ (lnxtanx) Использование правило цепочки, d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), где u = lnxtanx и d / (du) (e ^ u) = e ^ u = ( d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) Выразите e ^ (lnxtanx) как степень x: e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) Используйте правило произведения, d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx), где u = lnx и v = tanx = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx Производная tanx имеет вид sec ^ 2x = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + Подробнее »

Ряд расходится, потому что предел этого отношения> 1 lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 Пусть a_n будет n-м членом этого ряда: a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) Тогда a_ (n + 1 ) = ((2 (n + 1))!) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ( (n + 1)!) ^ 2) = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) = ( (2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) Ограничение этого отношени Подробнее »

Нам нужно найти, где меняется вогнутость. Это точки перегиба; обычно это где вторая производная равна нулю. Наша функция y = f (x) = x e ^ x. Посмотрим, где f '' (x) = 0: y = f (x) = x * e ^ x. Так что используйте правило произведения: f '(x) = x * d / dx (e ^ x) + e ^ x * d / dx (x) = xe ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x (x + 1) f '' (x) = (x + 1) * d / dx (e ^ x) + e ^ x * d / dx (x + 1) = (x + 1) e ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x (x + 2) = 0 Установите f '' (x) = 0 и решите, чтобы получить x = -2 Вторая производная меняет знак на -2, и поэтому вогнутость изменяется при x = -2 с вогнутой вниз слева от -2 до вог Подробнее »

Int (2 + x + x ^ 13) dx = 2x + x ^ 2/2 + x ^ 14/14 + c Мы используем степенное правило для интеграции, то есть: int x ^ n dx = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ c) для любой константы n! = -1 Итак, используя это, мы имеем: int (2 + x + x ^ 13) dx = 2x + х ^ 2/2 + х ^ 14/14 + с Подробнее »

Интеграл равен x ^ 4 + C. В соответствии со степенным правилом int x ^ ndx = x ^ (n + 1) / (n + 1). Я = 4x ^ (3+ 1) / (3 + 1) = x ^ 4 + C Надеюсь, это поможет! Подробнее »

Сначала настройте проблему. int (dy) / (dx) dx Сразу два условия dx отменяются, и вы остаетесь с; int dy Решение для которого есть; y + C, где C - постоянная. Это не должно вызывать удивления, если учесть, что производные и интегралы противоположны. Следовательно, взятие интеграла от производной должно вернуть исходную функцию + C Подробнее »

2e ^ {0.5x} + C int e ^ {0.5x} dx = int e ^ {0.5x} 1 / 0.5d (0.5x) = 1 / 0.5 int e ^ {0.5 x} d ( 0,5x) = 2e ^ {0,5x} + C Подробнее »

Интегрирование по частям int u dv = uv - int v du Пусть u = ln (7x) "" "" dv = dx => du = {dx} / x "" "" => v = x По интегрированию по частям, int ln (7x) dx = ln (7x) cdot x-int x cdot {dx} / x = x ln (7x) -int dx + C = x ln (7x) - x + CI Я надеюсь, что это было полезно. Подробнее »

Вы не можете выразить этот интеграл в терминах элементарных функций. В зависимости от того, для чего вам нужна интеграция, вы можете выбрать способ интеграции или другой. Интеграция через степенные ряды. Напомним, что e ^ x является аналитическим для mathbb {R}, поэтому для x в mathbb {R} выполняется следующее равенство: e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / { n!} и это означает, что e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!} Теперь вы можете интегрировать: int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n! }) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} Подробнее »

Подсказка: сначала примените тригонометрическое замещение. Этот вопрос имеет вид sqrt (a ^ 2-x ^ 2). Итак, вы позволяете x = sinx (a в данном случае равно 1), а затем берете производную от x. Вставьте его обратно в вопрос int sqrt (1-x ^ 2) dx. Вам нужно будет использовать тождество половинного угла после. Интеграция. Вы получите неопределенный интеграл. Установите прямоугольный треугольник, чтобы найти значение для неопределенного интеграла. Я надеюсь, что это видео поможет прояснить ситуацию. Подробнее »

Всякий раз, когда я вижу такие функции, я признаю (много занимаясь), что вам следует использовать специальную подстановку здесь: int sqrt (9-x ^ 2) dx x = 3sin (u) Это может выглядеть странно, но Вы поймете, почему мы это делаем. dx = 3cos (u) du Заменим все в интеграле: int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du Мы можем вывести 3 из интеграла: 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du Вы можете выделить 9 из: 3 * int sqrt (9 (1 -sin ^ 2 (u))) * cos (u) du 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du Мы знаем тождество: cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 Если мы решаем для cosx, мы получа Подробнее »

Int 1 / x dx = ln abs x + C Причина зависит от того, какое определение ln x вы использовали. Я предпочитаю: Определение: lnx = int_1 ^ x 1 / t dt для x> 0. По основной теореме исчисления получаем: d / (dx) (lnx) = 1 / x для x> 0. Отсюда и правило цепочки. , мы также получаем d / (dx) (ln (-x)) = 1 / x для x <0. На интервале, который исключает 0, антипроизводное 1 / x равно lnx, если интервал состоит из положительных чисел и ln (-x) если интервал состоит из отрицательных чисел. В абс х охватывает оба случая. Подробнее »

1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2} / {sqrt (x ^ 3 + 4) +2} | + C Заменить x ^ 3 + 4 = u ^ 2. Тогда 3x ^ 2dx = 2udu, так что dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = {2udu} / {3x ^ 3u} = 2/3 {du} / (u ^ 2-4) = 1 / 6 ({du} / {u-2} - {du} / {u + 2}) Таким образом, int dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = 1/6 int ({du} / {u- 2} - {du} / {u + 2}) = 1/6 ln | {u-2} / {u + 2} | + C = 1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2 } / {SQRT (х ^ 3 + 4) + 2} | + С Подробнее »

-2 / 3sqrt (1-x) (2 + x) + C Пусть, u = sqrt (1-x) или, u ^ 2 = 1-x или, x = 1-u ^ 2 или, dx = -2udu Теперь int (xdx) / (sqrt (1-x)) = int (1-u ^ 2) (- 2udu) / u = int 2u ^ 2du -int 2du Теперь int 2u ^ 2 du -int 2du = ( 2u ^ 3) / 3 - 2 (u) + C = 2 / 3u (u ^ 2-3) + C = 2/3 кв. (1-x) {(1-x) -3} + C = 2/3 кв. (1-x) (- 2-x) + C = -2 / 3 кв. (1-x) (2 + x) + C Подробнее »

Увидеть ниже. Используя тождество полинома (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1), мы имеем для abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x), тогда для x ne k pi, k в ZZ имеем sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) Подробнее »

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["- это интервал сходимости для x" "x = 3 не входит в интервал сходимости, поэтому сумма для x = 3 равна" oo ". Считать сумму как это будет геометрический ряд путем замены "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Тогда у нас есть" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "для" | z | <1 "Таким образом, интервал сходимости равен" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) «ИЛИ» (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) «(x-2 отрицательно)» «Положительный случай:& Подробнее »

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Мы можем подсчитать, что sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n - геометрический ряд с отношением r = 1 / (x (1-x)). Теперь мы знаем, что геометрические ряды сходятся, когда абсолютное значение отношения меньше 1: | r | <1 тогда-1 <r <1. Таким образом, мы должны решить это неравенство: 1 / (x (1-x)) <1 и 1 / (x (1-x))> -1 Давайте начнем с первого: 1 / (x (1-x)) <1, если 1 / (x (1-x)) - (x (1-x) )) / (x (1-x)) <0 тогда и только тогда, когда (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0. Можно легко доказать, что числитель всегда положителен, а знаменатель отрицателен в Подробнее »

(-3, -8) Стационарные точки функции - это когда dy / dx = 0 y = x ^ 2 + 6x + 1 dy / dx = 2x + 6 dy / dx = 0 = 2x + 6 x = -6 / 2 = -3 (-3) ^ 2 + 6 (-3) + 1 = 9-18 + 1 = -8 Стационарная точка встречается в (-3, -8) Подробнее »

Максимальный объем цилиндра найден, если мы выберем r = sqrt (2/3) R и h = (2R) / sqrt (3). Этот выбор приводит к максимальному объему цилиндра: V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) `` Представьте себе поперечное сечение через центр цилиндра, и пусть цилиндр будет иметь высоту h и объем V, тогда мы получим; h и r могут варьироваться, а R является константой. Объем цилиндра задается по стандартной формуле: V = pir ^ 2h. Радиус сферы R является гипотенузой треугольника со сторонами r и 1 / 2h, поэтому, используя Пифагор, имеем: R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2ч) ^ 2:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4ч ^ 2:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 Мы можем подставит Подробнее »

Предупреждение: вашему учителю математики не понравится этот метод решения! (но это ближе к тому, как это будет сделано в реальном мире). Обратите внимание, что если х очень маленький (то есть лестница почти вертикальная), то длина лестницы будет почти 0 o, а если х очень большая (т. Е. Лестница почти горизонтальная), то длина лестницы будет (опять же) почти 0. Если мы начнем с очень малого значения x и постепенно увеличим его, длина лестницы будет (вначале) уменьшаться, но в какой-то момент она должна снова начать увеличиваться. Поэтому мы можем найти значения брекетинга «низкий X» и «высокий X», между Подробнее »

Я бы сказал oo; В вашем пределе вы можете приблизиться к 1 слева (x меньше 1) или справа (x больше 1), и знаменатель всегда будет очень маленьким числом и положительным (из-за степени двух) дает: lim_ ( х-> 1) (5 / (х-1) ^ 2) = 5 / (+ 0,0000 .... 1) = оо Подробнее »

Lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x = 0. Мы определяем это, используя правило Л'Оспиталя. Перефразируя, правило L'Hospital гласит, что когда задан предел в форме lim_ (x a) f (x) / g (x), где f (a) и g (a) являются значениями, которые приводят к ограничению неопределенный (чаще всего, если оба равны 0, или некоторая форма ), тогда, пока обе функции непрерывны и дифференцируемы в и вблизи a, можно утверждать, что lim_ (x a) f (x) / g (x) = lim_ (x a) (f '(x)) / (g' (x)) Или, на словах, предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных. В приведенном примере мы имеем f (x) = cos (x) -1 и g Подробнее »

Есть несколько способов написать это. Все они отражают одну и ту же идею. Для y = f (x) производная от y (по x) имеет вид y '= dy / dx = lim_ (Deltax rarr0) (Delta y) / (Delta x) f' (x) = lim_ (Deltax rarr0 ) (f (x + дельта x) -f (x)) / (дельта x) f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / (h) f' ( x) = lim_ (urarrx) (f (u) -f (x)) / (ux) Подробнее »

Lim_ (x-> 0) sin (x) / x = 1. Мы определяем это с помощью правила Л'Оспиталя. Перефразируя, правило L'Hospital гласит, что когда задан предел в виде lim_ (x-> a) f (x) / g (x), где f (a) и g (a) являются значениями, которые вызывают ограничение быть неопределенным (чаще всего, если оба равны 0 или некоторой форме oo), тогда, пока обе функции непрерывны и дифференцируемы в и вблизи a, можно утверждать, что lim_ (x-> a) f (x) ) / g (x) = lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)) Или, на словах, предел отношения двух функций равен пределу отношения их производные. В приведенном примере мы имеем f (x) = sin Подробнее »

E ^ 4 Обратите внимание на биномиальное определение числа Эйлера: e = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / x) ^ x- = lim_ (x-> 0) (1 + x) ^ (1 / x) Здесь Я буду использовать определение x-> oo. В этой формуле пусть y = nx. Тогда 1 / x = n / y, а x = y / n число Эйлера затем выражается в более общей форме: e = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ (y / n) Другими словами, e ^ n = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ y Так как y также является переменной, мы можем заменить x вместо y: e ^ n = lim_ (x-> oo) (1 + n / x) ^ x Поэтому, когда n = 4, lim_ (x-> oo) (1 + 4 / x) ^ x = e ^ 4 Подробнее »

Lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 Let: f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) " "= ((e ^ x-1) - (x)) / (x (e ^ x-1))" "= (e ^ x-1 - x) / (xe ^ xx) Тогда мы ищем: L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ xx) Поскольку это неопределенная форма 0/0, мы можем применить правило L'Hôpital. L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1 - x)) / (d / dx (xe ^ xx)) = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x -1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) Опять же, это неопределенная форма 0/0, мы можем снова применить правило Л'Опитала: L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (xe ^ x + Подробнее »

Если два сложенных предела по отдельности приближаются к 0, то все приближается к 0. Используйте свойство, которое ограничивает распределение по сложению и вычитанию. => lim_ (x-> oo) 1 / x - lim_ (x-> oo) 1 / (e ^ x - 1) Первый предел тривиален; 1 / "large" ~~ 0. Второй просит вас знать, что e ^ x увеличивается с увеличением x. Следовательно, при x-> oo, e ^ x -> oo. => цвет (синий) (lim_ (x-> oo) 1 / x - 1 / (e ^ x - 1)) = 1 / oo - 1 / (oo - отмена (1) ^ "small") = 0 - 0 = цвет (синий) (0) Подробнее »

Lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = 1/2 Суммируйте два слагаемых: 1 / x-1 / (e ^ x-1) = (xe ^ x + 1) / (x (e ^ x-1)) Предел теперь находится в неопределенной форме 0/0, поэтому теперь мы можем применить правило l'Hospital: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x- 1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x + 1-x)) / (d / dx x (e ^ x-1)) lim_ ( x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x-1) / (e ^ x-1 + xe ^ x ) и как это до тех пор, пока в форме 0/0 во второй раз: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (e ^ x-1 + xe ^ x)) lim_ (x-> 0 ^ +) Подробнее »

Посмотрите ниже Сначала, переписать это как lim_ (x-> 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2 теперь фактор (x-1) ^ 2 = (x-1) (x-1) = x ^ 2- 2x + 1 frac {7} {4x ^ 2-2x + 1} теперь заменяют x -> 1 frac {7} {4 (1) ^ 2 -2 (1) +1 7/3, поэтому lim_ (x- > 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2) = 7/6 Подробнее »