Функция 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 - это максимумы, минимумы или точки перегиба?

Ответ:

• Нет мин или макс
• Точка перегиба в #x = -2 / 3 #.

график {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Объяснение:

Мин и макс

Для данного #Икс#-значение (давайте назовем это # C #) чтобы быть максимальным или минимальным для данной функции, она должна удовлетворять следующему:

#f '(c) = 0 # или не определено.

Эти значения # C # также называются ваши критические точки.

Примечание. Не все критические точки являются максимальными / минимальными, но все максимальные / минимальные значения являются критическими

Итак, давайте найдем их для вашей функции:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Это не имеет значения, поэтому давайте попробуем квадратичную формулу:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… и мы можем остановиться прямо здесь. Как вы можете видеть, у нас есть отрицательное число под квадратным корнем. Следовательно, есть нет реальных критических точек для этой функции.

-

Точки перегиба

Теперь давайте найдем точки перегиба. Это точки, где график имеет изменение вогнутости (или кривизны). За точку (назови это # C #) чтобы быть точкой перегиба, он должен удовлетворять следующему:

#f '' (c) = 0 #.

Примечание: не все такие точки являются точками перегиба, но все точки перегиба должны удовлетворять этому.

Итак, давайте найдем это:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Теперь нам нужно проверить, действительно ли это точка перегиба. Итак, нам нужно проверить, что #f '' (х) # действительно переключает знак на #x = -2 / 3 #.

Итак, давайте проверим значения справа и слева от #x = -2 / 3 #:

Правильно:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Оставил:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Нас не волнует, каковы фактические значения, но, как мы можем ясно видеть, справа от #x = -2 / 3 #и отрицательное число слева от #x = -2 / 3 #, Следовательно, это действительно точка перегиба.

Подвести итоги, #f (х) # не имеет критических точек (или мин или макс), но у него есть точка перегиба в #x = -2 / 3 #.

Давайте посмотрим на график #f (х) # и посмотрите, что означают эти результаты:

график {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Этот график растет повсеместно, поэтому в нем нет места, где производная = 0. Однако он идет от изогнутого вниз (вогнутого вниз) до изогнутого вверх (вогнутого вверх) в #x = -2 / 3 #.

Надеюсь, что помогло:)