Как расширить в серии Maclaurin это? F (X) = int_0 ^ xlog (1-т) / ТДТ

Ответ:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Визуальный: Проверьте этот график

Объяснение:

Мы явно не можем оценить этот интеграл, поскольку он использует какие-либо обычные методы интеграции, которые мы изучили. Однако, поскольку он является определенным интегралом, мы можем использовать ряд Маклаурина и делать то, что называется термином, через интеграцию терминов.

Нам нужно найти серию MacLaurin. Поскольку мы не хотим находить n-ю производную этой функции, нам нужно попытаться вписать ее в одну из известных нам серий Маклаурина.

Во-первых, нам не нравится #журнал#; мы хотим сделать это # LN #, Для этого мы можем просто воспользоваться изменением базовой формулы:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Итак, мы имеем:

# Int_0 ^ XLN (1-т) / (TLN (10)) дт #

Почему мы это делаем? Ну, теперь обратите внимание, что # d / dxln (1-т) = -1 / (1-т) # Почему это так особенное? Что ж, # 1 / (1-х) # одна из наших широко используемых серий MacLaurin:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…для всех #Икс# на #(-1, 1#

Таким образом, мы можем использовать эти отношения в наших интересах, и заменить #ln (1-т) # с # INT-1 / (1-т) дт #что позволяет нам заменить это # LN # термин с рядом Маклаурина. Соединение этого дает:

# ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Оценивая интеграл:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Отмена # Т # срок в знаменателе:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

И теперь мы берем определенный интеграл, с которого мы начали проблему:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) дт #

Заметка: Обратите внимание, что теперь нам не нужно беспокоиться о делении на ноль в этой задаче, что является проблемой, с которой мы столкнулись в исходном интеграте из-за # Т # термин в знаменателе. Поскольку это было отменено на предыдущем шаге, это показывает, что разрыв является съемным, что хорошо работает для нас.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # оценивается из #0# в #Икс#

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Убедитесь, что вы понимаете, что эта серия хороша только на интервале #(1, 1#поскольку ряд Маклаурина, который мы использовали выше, сходится только на этом интервале. Посмотрите на этот график, который я сделал, чтобы лучше понять, как это выглядит.

Надеюсь, что помогло:)