Что является производной от y = (sinx) ^ x?

Ответ:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Объяснение:

Используйте логарифмическое дифференцирование.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Используйте свойства # LN #)

Дифференцируйте безоговорочно: (используйте правило продукта и цепочку)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Итак, имеем:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Решить для # Ду / дх # умножением на #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Ответ:

# Д / дх (SiN х) ^ х = (п (SiNx) + xcotx) (SiN х) ^ х #

Объяснение:

Самый простой способ убедиться в этом:

# (SiN х) ^ х = е ^ (п ((SiN х) ^ х)) = е ^ (XLN (SiN х)) #

Взятие производной от этого дает:

# Д / дх (SiN х) ^ х = (г / dxxln (SiNx)) е ^ (XLN (SiNx)) #

# = (П (SiNx) + XD / дх (п (SiNx))) (SiN х) ^ х #

# = (П (SiNx) + х (г / dxsinx) / SiNx) (SiNx) ^ х #

# = (П (SiNx) + xcosx / SiNx) (SiNx) ^ х #

# = (П (SiN х) + xcotx) (SiN х) ^ х #

Теперь мы должны отметить, что если # (SiNx) ^ х = 0 #, #ln ((SiN х) ^ х) # не определено

Тем не менее, когда мы анализируем поведение функции вокруг #Икс#Для которого это верно, мы находим, что функция ведет себя достаточно хорошо, чтобы это работало, потому что, если:

# (SiN х) ^ х # приближается к 0

затем:

#ln ((SiN х) ^ х) # подойдет # -Со #

так:

# Е ^ (п ((SiN х) ^ х)) # также приблизится к 0

Кроме того, отметим, что если #sinx <0 #, #ln ((SiN х) ^ х) # будет комплексное число; однако вся алгебра и исчисление, которые мы использовали, работают и на комплексной плоскости, так что это не проблема.

Ответ:

В более общем смысле…

Объяснение:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ г (х) #