Что такое lim_ (xto0 ^ +) ((1 / x) - ((1) / (e ^ (x) -1)))?

Ответ:

#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = 1/2 #

Суммируйте два условия:

# 1 / x-1 / (e ^ x-1) = (x-e ^ x + 1) / (x (e ^ x-1)) #

Предел теперь в неопределенной форме #0/0# так что теперь мы можем применить правило l'Hospital:

#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x + 1-x)) / (д / дх х (е ^ х-1)) #

#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x-1) / (e ^ x-1 + х ^ х) #

и как это до в форме #0/0# второй раз:

#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / дх (е ^ х-1 + хе ^ х)) #

#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (e ^ x + xe ^ x + e ^ x) #

#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (x + 2) = 1/2 #

график {1 / x-1 / (e ^ x-1) -10, 10, -5, 5}