Как вы интегрируете это? dx (x²-x + 1) Я застрял на этой части (изображение загружено)

Ответ:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Объяснение:

Продолжая …

Позволять # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Используя антипроизводные, что должно быть зафиксировано в памяти …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Это хитрый маленький интеграл, и решение на первый взгляд не будет очевидным. Поскольку это дробь, мы можем попытаться использовать технику частичных дробей, но быстрый анализ показывает, что это невозможно, поскольку # Х ^ 2-х + 1 # не факториально

Мы попытаемся привести этот интеграл в форму, которую мы действительно можем интегрировать. Обратите внимание на сходство между # Int1 / (х ^ 2-х + 1) ах # а также # Int1 / (х ^ 2 + 1) ах #; мы знаем, что последний интеграл оценивает # Arctanx + C #, Поэтому мы постараемся получить # Х ^ 2-х + 1 # в виде #k (х-а) ^ 2 + 1 #, а затем применить # Arctanx # править.

Нам нужно будет заполнить квадрат на # Х ^ 2-х + 1 #:

# Х ^ 2-х + 1 #

# = Х ^ 2-х + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (Х-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (Х-1/2) ^ 2 + (SQRT (3) / 2) ^ 2 #

# = (SQRT (3) / 2) ^ 2 ((х-1/2) ^ 2 / (SQRT (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (SQRT (3) / 2) ^ 2 (((х-1/2) / (SQRT (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(очень грязно, я знаю)

Теперь, когда мы имеем это в желаемой форме, мы можем действовать следующим образом:

# Int1 / (х ^ 2-х + 1) ах = int1 / ((SQRT (3) / 2) ^ 2 (((х-1/2) / (SQRT (3) / 2)) ^ 2 + 1)) ах #

# = 4 / 3int1 / (((х-1/2) / (SQRT (3) / 2)) ^ 2 + 1) ах #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (SQRT (3))) ^ 2 + 1) ах #

# = 4/3 * (SQRT (3) / 2arctan ((2x-1) / SQRT (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / SQRT (3))) / SQRT (3) + C #