Какова производная от х ^ (1 / х)?

Ответ:

# Ду / дх = х ^ (1 / х) ((1-LNX) / х ^ 2) #

Объяснение:

В этих ситуациях, когда функция возводится в степень функции, мы будем использовать логарифмическое дифференцирование и неявное дифференцирование следующим образом:

# У = х ^ (1 / х) #

# LNY = Ln (х ^ (1 / х)) #

Из того что #ln (а ^ Ь) = blna #:

# LNY = LNX / х #

Дифференцировать (левая сторона будет дифференцирована неявно):

# 1 / г * ду / дх = (1-LNX) / х ^ 2 #

Решить для # Ду / дх #:

# Ду / дх = у ((1-LNX) / х ^ 2) #

Напоминая что # У = х ^ (1 / х) #:

# Ду / дх = х ^ (1 / х) ((1-LNX) / х ^ 2) #