Найти значения х, для которых следующий ряд сходится?

Ответ:

#1<>

Объяснение:

При попытке определить радиус и / или интервал сходимости степенных рядов, таких как эти, лучше всего использовать тест отношения, который говорит нам для ряда # Suma_n #, мы позволяем

# L = lim_ (п-> оо) | а_ (п + 1) / a_n | #.

Если #L <1 # ряд абсолютно сходится (и, следовательно, сходится)

Если #L> 1 #серия расходится.

Если # L = 1, # Коэффициент теста не является окончательным.

Для серии Power, однако, возможны три случая

а. Степенные ряды сходятся для всех действительных чисел; его интервал сходимости # (- оо, оо) #

б. Степенной ряд сходится для некоторого числа # х = A; # его радиус сходимости равен нулю.

с. В наиболее частом случае степенной ряд сходится для # | Х-а |<> с интервалом сходимости # A-R,

# | 2x-3 | lim_ (n-> оо) 1 = | 2x-3 | #

Так что если # | 2x-3 | <1 #ряд сходится. Но нам нужно это в виде # | Х-а |<>

# | 2 (х-3/2) | <1 #

# 2 | х-3/2 | <1 #

# | Х-3/2 | <1/2 # приводит к сходимости. Радиус схождения # R = 1 / 2. #

Теперь давайте определим интервал:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Нам нужно подключить # x = 1, x = 2 # в исходную серию, чтобы увидеть, есть ли у нас сходимость или расхождение в этих конечных точках.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # расходится, слагаемое не имеет предела и, конечно, не стремится к нулю, оно просто чередует знаки.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # также расходится с помощью теста дивергенции, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Следовательно, ряд сходится для #1<>

Мы можем использовать тест отношения, который говорит, что если у нас есть ряд

#sum_ (п = 0) ^ ooa_n #

это определенно сходится, если:

#lim_ (n-> оо) | а_ (п + 1) / a_n | <1 #

В нашем случае # A_n = (2x-3) ^ п #Итак, мы проверим лимит:

#lim_ (n-> оо) | (2х-3) ^ (п + 1) / (2x-3) ^ п | = lim_ (n-> оо) | ((2x-3) отменить ((2x-3) ^ п)) / отменить ((2x-3) ^ п) | = #

# = Lim_ (n-> оо) | 2x-3 | = 2x-3 #

Итак, нам нужно проверить, когда # | 2x-3 | # меньше чем #1#:

Здесь я допустил ошибку, но приведенный выше ответ имеет тот же метод и правильный ответ, поэтому просто взгляните на это.

Данная матрица обратима? первый ряд (-1 0 0) второй ряд (0 2 0) третий ряд (0 0 1/3)

Да, это потому, что определитель матрицы не равен нулю, матрица является обратимой. На самом деле определителем матрицы является det (A) = (- 1) (2) (1/3) = - 2/3

Каковы значения r (при r> 0), для которых сходится ряд?

R <1 / e - условие сходимости sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n). Я просто отвечу на часть о сходимости, первая часть была дана в комментариях. Мы можем использовать r ^ ln (n) = n ^ ln (r), чтобы переписать сумму sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) в виде sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) Ряд справа - это форма ряда для известной дзета-функции Римана. Хорошо известно, что этот ряд сходится, когда p> 1. Непосредственное использование этого результата дает -ln (r)> 1 означает, что ln (r) <- 1 означает, что r <e ^ -1 = 1 / e Результат о дзета-функциях Римана очень хорошо

Предположим, что a_n является монотонным и сходится и b_n = (a_n) ^ 2. B_n обязательно сходится?

Да. Пусть l = lim_ (n -> + oo) a_n. a_n является монотонным, поэтому b_n также будет монотонным, и lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2. Это похоже на функции: если f и g имеют конечный предел в a, то продукт f.g будет иметь предел в a.