Каковы значения r (при r> 0), для которых сходится ряд?

Ответ:

Нг <1 / е # является условием сближения #sum_ (п = 1) ^ ООК ^ п (п) #

Объяснение:

Я просто отвечу на часть о сближении, на первую часть ответили в комментариях. Мы можем использовать # Г ^ п (п) = п ^ п (г) # переписать сумму #sum_ (п = 1) ^ ООК ^ п (п) # в виде

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) #

Ряд справа - это форма ряда для известной дзета-функции Римана. Хорошо известно, что эта серия сходится, когда #p> 1 #, Использование этого результата напрямую дает

# -ln (r)> 1 подразумевает ln (r) <- 1 подразумевает r <e ^ -1 = 1 / e #

Результат о дзета-функциях Римана очень хорошо известен, если вы хотите ab initio Ответьте, вы можете попробовать интегральный тест на сходимость.