Как доказать, что ряд сходится?

Ответ:

Сходится с помощью теста прямого сравнения.

Объяснение:

Мы можем использовать тест прямого сравнения, так как мы имеем

#sum_ (п = 1) ^ oocos (1 / к) / (9k ^ 2) #IE, серия начинается с одного.

Чтобы использовать тест прямого сравнения, мы должны доказать, что # A_k = соз (1 / к) / (9k ^ 2) # положительно на # 1, оо) #.

Во-первых, обратите внимание, что на интервале # 1, oo), cos (1 / k) # положительно. Для значений #Икс # Cosx # находится в первом квадранте (и, следовательно, положительный). Ну для #k> = 1, 1 / k так, #cos (1 / к) # действительно положительно.

Кроме того, мы можем сказать #cos (1 / к) <= 1 #, как #lim_ (к-> оо) сов (1 / K) = COS (0) = 1 #.

Затем мы можем определить новую последовательность

# B_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # для всех # К. #

Что ж, #sum_ (к = 1) ^ OO1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (к = 1) ^ OO1 / к ^ 2 #

Мы знаем, что это сходится #п-#тест серии, это в форме # Sum1 / к ^ р # где # Р = 2> 1 #.

Тогда, так как большая серия сходится, то и меньшая серия должна.

Ответ:

Он сходится с помощью теста прямого сравнения (подробности см. Ниже).

Объяснение:

Признайте, что диапазон косинуса составляет -1,1. Проверьте график #cos (1 / х) #:

graph {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Как видите, максимальная значение, которое будет достигнуто, будет равно 1. Поскольку мы просто пытаемся доказать здесь сходимость, давайте установим числитель в 1, оставив:

# Sum1 / (9k ^ 2) #

Теперь это становится очень простой проблемой теста прямого сравнения. Вспомните, что делает тест прямого сравнения:

Рассмотрим произвольный ряд # A_n # (мы не знаем, сходится ли он / расходится), и ряд, для которого мы знаем сходимость / расхождение, # B_n #:

Если #b_n> a_n # а также # B_n # сходится, то # A_n # также сходится.

Если #b_n <a_n # а также # B_n # расходится, то # A_n # также расходится.

Мы можем сравнить эту функцию с #b_n = 1 / k ^ 2 #, Мы можем сделать это, потому что мы знаем, что это сходится (из-за p-теста).

Итак, с # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, а также # 1 / k ^ 2 # сходится, можно сказать, что серия сходится

Но, подождите, мы только доказали, что этот ряд сходится, когда числитель = 1. Как насчет всех других значений #cos (1 / к) # мог взять? Ну, помните, что 1 является максимальная значение, которое может принять числитель. Итак, поскольку мы доказали, что это сходится, мы косвенно доказали, что этот ряд сходится для любого значения в числителе.

Надеюсь, что помогло:)