Как вы решаете этот интеграл?

Ответ:

#int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 #

# = 1/4 (п (х + 1) -ln (х-1) - (2x) / (х ^ 2-1)) + C #

Объяснение:

#int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 #

# = int ("d" x) / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) #

Теперь давайте сделаем частичные дроби. Предположим, что

# 1 / ((х + 1) ^ 2 (х-1) ^ 2) = А / (х + 1) + В / (х + 1) ^ 2 + С / (х-1) + D / (х -1) ^ 2 #

для некоторых констант # А, В, С, D #.

Затем, # 1 = А (х + 1) (х-1) ^ 2 + В (х-1) ^ 2 + С (х + 1) ^ 2 (х-1) + D (х + 1) ^ 2 #

Развернуть, чтобы получить

# 1 = (А + С) х ^ 3 + (B + C + D-А) х ^ 2 + (2D-2B-А-С) х + А + В-C + D #.

Уравнять коэффициенты:

# {(А + С = 0), (B + C + D-А = 0), (2D-2B-А-С = 0), (A + B-C + D = 1):} #

Решение дает # A = B = D = 1/4 # а также # С = -1/4 #.

Таким образом, наш оригинальный интеграл

#int (1 / (4 (x + 1)) + 1 / (4 (x + 1) ^ 2) -1 / (4 (x-1)) + 1 / (4 (x-1) ^ 2)) "d" x #

# = 1 / 4ln (х + 1) -1 / (4 (х + 1)) - 1 / 4ln (х-1) -1 / (4 (х-1)) + C #

Упростить:

# = 1/4 (п (х + 1) -ln (х-1) - (2x) / (х ^ 2-1)) + C #