Как найти полином Тейлора третьей степени для f (x) = ln x с центром в a = 2?

Ответ:

#ln (2) +1/2 (х-2) -1/8 (х-2) ^ 2 + 1/24 (х-2) ^ 3 #.

Объяснение:

Общая форма разложения Тейлора с центром в # A # аналитической функции # Е # является #f (х) = sum_ {п = 0} ^ уф ^ ((п)) (а) / (п!) (х-а) ^ п #, Вот #f ^ ((п)) # является n-й производной # Е #.

Полином Тейлора третьей степени является полиномом, состоящим из первых четырех# П # начиная от #0# в #3#) условия полного расширения Тейлора.

Поэтому этот многочлен #f (а) + е '(а) (х-а) + (е' '(а)) / 2 (х-а) ^ 2 + (е' '' (а)) / 6 (х-а) ^ 3 #.

#f (х) = п (х) #, следовательно #f '(х) = 1 / х #, #f '' (х) = - 1 / х ^ 2 #, #f '' '(х) = 2 / х ^ 3 #, Итак, полином Тейлора третьей степени:

#ln (а) + 1 / (х-а) -1 / (2a ^ 2) (х-а) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (х-а) ^ 3 #.

Теперь у нас есть # А = 2 #Итак, у нас есть многочлен:

#ln (2) +1/2 (х-2) -1/8 (х-2) ^ 2 + 1/24 (х-2) ^ 3 #.