Что такое разложение Тейлора e ^ (- 2x) с центром в точке x = 0?

Ответ:

#e ^ (- 2x) = sum_ (п = 0) ^ оо (-2) ^ п / (п!) х ^ п = 1-2x + 2 ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Объяснение:

Случай ряда Тейлора, расширенный вокруг #0# называется серия Маклаурин. Общая формула для ряда Маклаурина:

#f (х) = sum_ (п = 0) ^ уф ^ п (0) / (п!) х ^ п #

Чтобы разработать серию для нашей функции, мы можем начать с функции для # Е ^ х # а затем использовать это, чтобы выяснить формулу для #e ^ (- 2x) #.

Чтобы построить ряд Маклаурина, нам нужно вычислить n-ю производную от # Е ^ х #, Если мы возьмем несколько производных, мы можем довольно быстро увидеть шаблон:

#f (х) = е ^ х #

#f '(х) = е ^ х #

#f '' (х) = е ^ х #

На самом деле, n-я производная # Е ^ х # просто # Е ^ х #, Мы можем включить это в формулу Маклаурина:

# Е ^ х = sum_ (п = 0) ^ оое ^ 0 / (п!) Х ^ п = sum_ (п = 0) ^ OOX ^ п / (п!) = 1 + х / (1) + х ^ 2 / (2!) + х ^ 3 / (3!) … #

Теперь, когда у нас есть ряд Тейлора для # Е ^ х #мы можем просто заменить все #Икс#с # -2x # чтобы получить серию для #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = sum_ (п = 0) ^ оо (-2x) ^ п / (п!) = sum_ (п = 0) ^ оо (-2) ^ п / (п!) х ^ п знак равно

# = 1-2 / (1!) Х + 4 / (2!) Х ^ 2-8 / (3!) Х ^ 3 + 16 / (4!) Х ^ 4 = … #

# = 1-2x + 2 ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

это серия, которую мы искали.