Какова производная от х ^ п?

Для функции #f (х) = х ^ п #должен не равен 0, по причинам, которые станут понятны. n также должно быть целым или рациональным числом (то есть дробью).

Правило таково:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Другими словами, мы «заимствуем» степень x и сделаем ее коэффициентом производной, а затем вычтем 1 из степени.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Как я уже говорил, частный случай - это когда n = 0. Это означает, что

#f (х) = х ^ 0 = 1 #

Мы можем использовать наше правило и технически получить правильный ответ:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Однако позднее мы столкнемся с осложнениями, когда попытаемся использовать обратное правило.

Ответ:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Ниже приведены доказательства для каждого числа, но только в доказательстве для всех целых чисел используется базовый набор навыков определения производных. Для всех рациональных доказательств используется правило цепи, а для нерациональных - неявное дифференцирование.

Объяснение:

При этом я покажу им все здесь, чтобы вы могли понять процесс. Осторожно, что это #будут# быть довольно длинным

От #y = x ^ (n) #, если #n = 0 # у нас есть #y = 1 # и производная константы всегда равна нулю.

Если # П # любое другое положительное целое число, которое мы можем бросить в формулу производной и использовать теорему бинома для решения беспорядка.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

куда # K_i # соответствующая константа

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Разделив это #час#

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Мы можем вынуть первый член из суммы

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Принимая лимит, все остальное в сумме сводится к нулю. расчета # K_1 # мы видим, что это равно # П #, так

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

За # П # это отрицательные целые числа, это немного сложнее. Знаю это # x ^ -n = 1 / x ^ b #такой, что #b = -n # и, следовательно, является положительным.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Вынь первый семестр

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ б)) #

Взять предел, где # K_1 = b #подставляя это обратно # П #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Для рациональных целей нам нужно использовать правило цепочки. т.е.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Итак, зная, что # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # и предполагая #n = 1 / b # у нас есть

# (x ^ n) ^ b = x #

Если # Б # ответ технически # | Х | # но это достаточно близко для наших целей

Итак, используя правило цепочки, мы имеем

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

И наконец, что не менее важно, используя неявное дифференцирование, мы можем доказать все действительные числа, включая иррациональные числа.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #