В чем разница между теоремой о промежуточном значении и теоремой об экстремальном значении?

Ответ:

Теорема о промежуточном значении (IVT) говорит, что функции, которые непрерывны на интервале # А, Ь # принять все (промежуточные) значения между их крайностями. Теорема об экстремальных значениях (EVT) говорит, что функции, которые непрерывны на # А, Ь # достичь их крайних значений (высоких и низких).

Объяснение:

Вот заявление EVT: Пусть # Е # быть непрерывным на # А, Ь #, Тогда существуют числа # c, d in a, b # такой, что #f (c) leq f (x) leq f (d) # для всех #x in a, b #, Другими словами, "супремум" # M # и "инфимум" # М # из диапазона # {f (x): x in a, b } # существуют (они конечны) и существуют числа # c, d in a, b # такой, что #f (с) = т # а также #f (г) = М #.

Обратите внимание, что функция # Е # должен быть непрерывным на # А, Ь # для заключения провести. Например, если # Е # функция такая, что #f (0) = 0,5 #, #f (х) = х # за #0<>, а также #f (1) = 0,5 #, затем # Е # не достигает максимального или минимального значения на #0,1#, (Супремум и инфимум диапазона существуют (они равны 1 и 0 соответственно), но функция никогда не достигает (никогда не равна) этих значений.)

Обратите внимание, что интервал должен быть закрыт. Функция #f (х) = х # не достигает максимального или минимального значения на открытом интервале #(0,1)#, (Еще раз, супремум и инфимум диапазона существуют (они равны 1 и 0 соответственно), но функция никогда не достигает (никогда не равняется) этих значений.)

Функция #f (х) = 1 / х # также не достигает максимального или минимального значения на открытом интервале #(0,1)#, Более того, супремум диапазона даже не существует как конечное число (это «бесконечность»).

Вот заявление IVT: Пусть # Е # быть непрерывным на # А, Ь # и предположим #f (а)! = е (б) #, Если # V # любое число между #f (а) # а также #f (б) #тогда существует число #c in (a, b) # такой, что #f (с) = V #, Более того, если # V # число между верхним и нижним пределом диапазона # {f (x): x in a, b} #тогда существует число #c in a, b # такой, что #f (с) = V #.

Если вы рисуете картинки с различными прерывистыми функциями, вполне понятно, почему # Е # должен быть непрерывным для IVT, чтобы быть правдой.