В чем разница между теоремой об остатке и теоремой о факторах?

Ответ:

Эти две теоремы похожи, но относятся к разным вещам.

Смотрите объяснение.

Объяснение:

теорема об остатке говорит нам, что для любого полинома #f (х) #, если вы разделите его на бином # х-а #, остаток равен значению #f (а) #.

факторная теорема говорит нам, что если # A # это ноль многочлена #f (х) #, затем # (Х-а) # является фактором #f (х) #, и наоборот.

Например, давайте рассмотрим полином

#f (x) = x ^ 2 - 2x + 1 #

Используя теорему об остатке

Мы можем подключить #3# в #f (х) #.

#f (3) = 3 ^ 2 - 2 (3) + 1 #

#f (3) = 9 - 6 + 1 #

#f (3) = 4 #

Следовательно, по теореме об остатке, остаток при делении # x ^ 2 - 2x + 1 # от # Х-3 # является #4#.

Вы также можете применить это в обратном порядке. Делить # x ^ 2 - 2x + 1 # от # Х-3 #, а остаток вы получите значение #f (3) #.

Используя фактор-теорему

Квадратичный полином #f (x) = x ^ 2 - 2x + 1 # равняется #0# когда # Х = 1 #.

Это говорит нам о том, что # (Х-1) # является фактором # x ^ 2 - 2x + 1 #.

Мы также можем применить теорему о факторе в обратном порядке:

Мы можем фактор # x ^ 2 - 2x + 1 # в # (Х-1) ^ 2 #, следовательно #1# это ноль #f (х) #.

По существу, теорема об остатках связывает остаток от деления биномом со значением функции в точке, а теорема о факторах связывает множители многочлена с его нулями.