Что такое f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx, если f (pi / 6) = 1?

Ответ:

# Е ^ х / 2 (син (х) + соз (х)) - пер | соз (х) | -1 / 2с ^ 2 (х) -cos (х) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) е ^ (пи / 6) + п (sqrt3 / 2) #

Объяснение:

Начнем с разбиения интеграла на три:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Я назову левый интеграл 1, а правый - 2.

Интеграл 1

Здесь нам нужна интеграция по частям и небольшая хитрость. Формула для интеграции по частям:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

В этом случае я позволю #f (х) = е ^ х # а также #G '(х) = соз (х) #, Мы получаем это

#f '(х) = е ^ х # а также #G (х) = Sin (х) #.

Это делает наш интеграл:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Теперь мы можем применить интеграцию по частям снова, но на этот раз с #G '(х) = sin (х) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Теперь мы можем добавить интеграл к обеим сторонам, давая:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = Е ^ х / 2 (син (х) + соз (х)) + C #

Интеграл 2

Сначала мы можем использовать личность:

#tan (тета) = грех (тета) / соз (тета) #

Это дает:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Теперь мы можем использовать пифагорейскую идентичность:

# Грех ^ 2 (тета) = 1-соз ^ 2 (тета) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Теперь мы можем ввести U-замену с # И = соз (х) #, Затем мы делим на производную, # -Sin (х) # интегрировать по отношению к # # U:

# -int (отменить (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (отменить (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Завершение оригинального интеграла

Теперь, когда мы знаем Интеграл 1 и Интеграл 2, мы можем подключить их обратно к исходному интегралу и упростить, чтобы получить окончательный ответ:

# Е ^ х / 2 (sin (х) + соз (х)) - пер | соз (х) | -1 / 2с ^ 2 (х) соз (х) + C #

Теперь, когда мы знаем антидериватив, мы можем решить для константы:

#f (пи / 6) = 1 #

# Е ^ (пи / 6) / 2 (sin (пи / 6) + соз (пи / 6)) - пер | соз (р / 6) | -1 / 2с ^ 2 (пи / 6) соз (р / 6) + С = 1 #

# -2/3-SQRT (3) / 2 + 1/2 (1/2 + SQRT (3) / 2) е ^ (пи / 6) -ln (SQRT (3) / 2) + С = 1 #

# С = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) е ^ (пи / 6) + п (sqrt3 / 2) #

# С = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) е ^ (пи / 6) + п (sqrt3 / 2) #

Это дает то, что наша функция:

# Е ^ х / 2 (син (х) + соз (х)) - пер | соз (х) | -1 / 2с ^ 2 (х) -cos (х) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) е ^ (пи / 6) + п (sqrt3 / 2) #