Дифференцировать cos (x ^ 2 + 1), используя первый принцип производной?

Ответ:

# -Sin (х ^ 2 + 1) * 2x #

Объяснение:

# d / dx cos (x ^ 2 + 1) #

Для этой задачи нам нужно использовать правило цепи, а также тот факт, что производная от #cos (u) = -sin (u) #, Цепное правило в основном просто утверждает, что вы можете сначала вывести внешнюю функцию относительно того, что находится внутри функции, а затем умножить это на производную того, что находится внутри функции.

Формально, # dy / dx = dy / (du) * (du) / dx #, где #u = x ^ 2 + 1 #.

Сначала нам нужно определить производную бита внутри косинуса, а именно # 2x #, Затем, найдя производную косинуса (отрицательный синус), мы можем просто умножить его на # 2x #.

# = - sin (х ^ 2 + 1) * 2x #

Ответ:

Пожалуйста, смотрите ниже.

Объяснение:

#f (x) = cos (x ^ 2-1) #

Нам нужно найти

#lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h = lim_ (hrarr0) (cos ((x + h) ^ 2-1) -cos (x ^ 2-1)) / ч #

Давайте сосредоточимся на выражении, предел которого нам нужен.

# (соз ((х ^ 2-1) + (2xh + H ^ 2)) - сов (х ^ 2-1)) / ч #

# = (cos (x ^ 2-1) cos (2xh + h ^ 2) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) -cos (x ^ 2-1)) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / h - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) (2x + h) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / (ч (2x + H)) (2x + Н) #

Мы будем использовать следующие ограничения:

#lim_ (hrarr0) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) (стоимость-1) / t = 0 #

#lim_ (hrarr0) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) sint / t = 1 #

А также #lim_ (hrarr0) (2x + h) = 2x #

Чтобы оценить лимит:

#cos (x ^ 2-1) (0) (2x) - sin (x ^ 2-1) * (1) * (2x) = -2xsin (x ^ 2-1) #