Каково решение дифференциального уравнения dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Ответ:

Общее решение:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Объяснение:

У нас есть:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Мы можем собрать термины для похожих переменных:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Что является отделимым обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка, так что мы можем «разделить переменные» получить:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Оба интеграла являются интегральными для стандартных функций, поэтому мы можем использовать эти знания для прямой интеграции:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

И мы можем легко переставить для # У #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-й = 1 / (e ^ t + C) #

Ведущий к общему решению:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Ответ:

# У = -1 / (е ^ т + С) + 1 #

Объяснение:

Это разделимое дифференциальное уравнение, которое означает, что оно может быть записано в виде:

# Ду / дх * F (Y) = г (х) #

Это может быть решено путем интеграции обеих сторон:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

В нашем случае сначала нужно разделить интеграл на правильную форму. Мы можем сделать это, разделив обе стороны на # (У-1) ^ 2 #:

# Ду / дт * 1 / (у-1) ^ 2 = е ^ tcancel ((у-1) ^ 2 / (у-1) ^ 2) #

# Д / дт * 1 / (у-1) ^ 2 = е ^ т #

Теперь мы можем объединить обе стороны:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Мы можем решить левый интеграл с заменой # И = у-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# И ^ -1 / (- 1) + C_2 = е ^ Т + C_1 #

Повторное замещение (и объединение констант) дает:

# -1 / (у-1) = е ^ т + C_3 #

Умножьте обе стороны на # У-1 #:

# -1 = (е ^ т + C_3) (у-1) #

Разделите обе стороны на # Е ^ т + C_3 #:

# -1 / (е ^ т + C_3) = у-1 #

# У = -1 / (е ^ т + С) + 1 #