Каково общее решение дифференциального уравнения y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Характеристическое уравнение:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "ИЛИ" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "диск четырехугольника. экв. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "поэтому у нас есть два сложных решения, они есть" #

#z = (13:00 sqrt (15) i) / 2 #

# "Итак, общее решение однородного уравнения:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Конкретное решение для полного уравнения" #

# "y = x," #

# "Это легко увидеть." #

# "Итак, полное решение:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Ответ:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Объяснение:

У нас есть:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Или, в качестве альтернативы:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Это в третьих линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Стандартный подход - найти решение, # Y_c # однородного уравнения, посмотрев на вспомогательное уравнение, которое является полиномиальным уравнением с коэффициентами производных, и затем найдя независимое частное решение, # Y_p # неоднородного уравнения.

Корни вспомогательного уравнения определяют части решения, которые, если линейно независимы, то суперпозиция решений образует полное общее решение.

• Реальные отличные корни # m = альфа, бета, … # даст линейно независимые решения вида # Y_1 = Ae ^ (alphax) #, # Y_2 = Be ^ (Betax) #, …
• Реальные повторяющиеся корни # М = альфа #, даст решение в виде # У = (Ах + В) е ^ (alphax) # где многочлен имеет ту же степень, что и повтор.
• Сложные корни (которые должны быть в виде сопряженных пар) # Т = р + -qi # будет давать пары линейно независимых решений вида # У = е ^ (рх) (Acos (QX) + Bsin (QX)) #

Частное решение

Для того чтобы найти конкретное решение неоднородного уравнения:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # с #f (x) = 4 # ….. C

тогда как #f (х) # полином степени #0#мы будем искать полиномиальное решение той же степени, то есть вида #y = a #

Однако такое решение уже существует в решении CF и поэтому должно учитывать потенциальное решение вида # У = ах #Где константы # A # определяется путем прямого замещения и сравнения:

дифференцирующий # У = ах # WRT #Икс# мы получаем:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Подставляя эти результаты в DE A, получаем:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

И поэтому мы формируем частное решение:

# y_p = x #

Общее решение

Который затем приводит к GS A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Обратите внимание, что это решение имеет #3# константы интеграции и #3# линейно независимые решения, следовательно, по теореме существования и единственности их суперпозиция является общим решением