Исчисление

В [-1 / pi, 1 / pi] существует бесконечное число относительных экстремумов в точке f (x) = + - 1. Сначала давайте подключим конечные точки интервала [-1 / pi, 1 / pi] к функция, чтобы увидеть конечное поведение. f (-1 / pi) = - 1 f (1 / pi) = - 1 Далее мы определяем критические точки, устанавливая производную равной нулю. f '(x) = 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) sin (1 / x) -in (1 / x) 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2 ) sin (1 / x) -sin (1 / x) = 0 К сожалению, когда вы строите это последнее уравнение в виде графика, вы получите следующее. Поскольку график производной имеет бесконечное число корней, исходная функция имеет Подробнее »

Минимальное значение равно 0 при x = 0, а максимальное значение равно 4 ^ 4 / e ^ 4 при x = 4. Сначала отметьте, что на [0, oo) f никогда не бывает отрицательным. Кроме того, f (0) = 0, так что должно быть минимумом. f '(x) = (x ^ 3 (4-x)) / e ^ x, который положителен для (0,4) и отрицателен для (4, oo). Мы заключаем, что f (4) является относительным максимумом. Поскольку у функции нет других критических точек в области, этот относительный максимум также является абсолютным максимумом. Подробнее »

Y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 4 + 10x +25) - 4x (-x ^ 4 - отмена (5x ^ 2) + отмена (5x ^ 2) + 25)) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y '= (-2x ^ 5 - 20x ^ 2 -50x + 4x ^ 5 - 100x) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y' = (2x ^ 5 - 20x ^ 2 - 150x) / (( х ^ 2 +5) ^ 4 Подробнее »

Абсолютный максимум: x = pi / 8 Абсолютный минимум. находится в конечных точках: x = 0, x = pi / 4 Найдите первую производную, используя правило цепочки: Пусть u = 2x; u '= 2, поэтому y = sinu + cos uy' = (cosu) u '- (sinu) u' = 2cos2x - 2sin2x Найти критические числа, установив y '= 0 и множитель: 2 (cos2x-sin2x) = 0, когда делает cosu = sinu? когда u = 45 ^ @ = pi / 4, так что x = u / 2 = pi / 8 Найдите 2-ю производную: y '' = -4sin2x-4cos2x Проверьте, есть ли у вас максимум при pi / 8, с помощью теста 2-й производной : y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0, поэтому pi / 8 является абсолютным м Подробнее »

Минимум: f (x) = -6.237 при x = 1.147 Максимум: f (x) = 16464 при x = 7 Нас просят найти глобальные минимальное и максимальное значения для функции в данном диапазоне. Для этого нам нужно найти критические точки решения, что можно сделать, взяв первую производную и решив для x: f '(x) = 5x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2x - 7 x ~~ 1.147 которая оказывается единственной критической точкой. Чтобы найти глобальные экстремумы, нам нужно найти значение f (x) при x = 0, x = 1.147 и x = 7 в соответствии с заданным диапазоном: x = 0: f (x) = 0 x = 1.147 : f (x) = -6.237 x = 7: f (x) = 16464 Таким образом, абсолютные экстремумы этой функции н Подробнее »

Нет максимума. Минимум равен 0. Нет максимума Как xrarr0, sinxrarr0 и lnxrarr-oo, так что lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo Так что максимума нет. Нет минимума. Пусть g (x) = sinx + lnx и заметим, что g непрерывна на [a, b] для любых положительных a и b. g (1) = sin1> 0 "" и "" g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0. g непрерывен на [e ^ -2,1], который является подмножеством (0,9]. По теореме о промежуточном значении g имеет ноль в [e ^ -2,1], который является подмножеством (0,9]. Это же число равно нулю для f (x) = abs ( sinx + lnx) (который должен быть неотрицательным для всех x в области.) Подробнее »

X = ln (5) и x = ln (30) Полагаю, что абсолютные экстремумы являются «самыми большими» (наименьший минимум или наибольший максимум). Вам нужно f ': f' (x) = (xcos (x) e ^ x - sin (x) (e ^ x + xe ^ x)) / (xe ^ x) ^ 2 f '(x) = (xcos (x) - sin (x) (1 + x)) / (x ^ 2e ^ x) AAx в [ln (5), ln (30)], x ^ 2e ^ x> 0, поэтому нам нужен знак (xcos ( x) - sin (x) (1 + x)), чтобы иметь вариации f. AAx в [ln (5), ln (30)], f '(x) <0, поэтому f постоянно уменьшается на [ln (5), ln (30)]. Это означает, что его экстремумы находятся в ln (5) и ln (30). Его максимум равен f (ln (5)) = sin (ln (5)) / (ln (25)), Подробнее »

Абсолютный минимум равен 0, что происходит при x = 0 и x = 20. Абсолютный максимум равен 15root (3) 5, что происходит при x = 5. Возможные точки, которые могут быть абсолютными экстремумами: точки поворота; т.е. точки, где dy / dx = 0 Конечные точки интервала У нас уже есть наши конечные точки (0 и 20), поэтому давайте найдем наши точки поворота: f '(x) = 0 d / dx (x ^ (1/3) ( 20-х)) = 0 1 / 3х ^ (- 2/3) (20-х) - х ^ (1/3) = 0 (20-х) / (3х ^ (2/3)) = х ^ (1/3) (20-x) / (3x) = 1 20-x = 3x 20 = 4x 5 = x Таким образом, существует поворотная точка, где x = 5. Это означает, что 3 возможных точки, которые могут быть экстрема Подробнее »

(1, 1 / e) является абсолютным максимумом в данной области. Минимума не существует. Производная задается как f '(x) = (1 (e ^ (x ^ 2)) - x (2x) e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 f '(x) = (e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2) ) ^ 2 Критические значения будут иметь место, когда производная равна 0 или не определена. Производная никогда не будет неопределенной (потому что e ^ (x ^ 2) и x являются непрерывными функциями и e ^ (x ^ 2)! = 0 для любого значения x. Так что если f '(x) = 0: 0 = e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) Как упоминалось выше, e ^ (x ^ 2) никогда не будет равно Подробнее »

Существует абсолютный максимум -1,718 при x = 1 и абсолютный минимум -5,921 при x = ln8. Чтобы определить абсолютные экстремумы на интервале, мы должны найти критические значения функции, которые лежат в интервале. Затем мы должны проверить как конечные точки интервала, так и критические значения. Это места, где могут возникнуть критические значения. Нахождение критических значений: критические значения f (x) возникают всякий раз, когда f '(x) = 0. Таким образом, мы должны найти производную от f (x). Если: "" "" "" "" "" f (x) = xe ^ x Тогда: "" "" & Подробнее »

При x = -1 минимум и при x = 3 максимум. f (x) = (x-1) / (x ^ 2 + x + 2) имеет стационарные точки, характеризуемые (df) / (dx) = - ((x-3) (1 + x)) / (2 + x + x ^ 2) ^ 2 = 0, поэтому они находятся в точке x = -1 и x = 3. Их характеристика проводится на основе анализа сигнала (d ^ 2f) / (dx ^ 2) = (2 (x ((x-). 3) х-9)) - 1) / (2 + х + х ^ 2) ^ 3 в этих точках. (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (- 1) = 1> 0-> относительный минимум (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (3) = - 1/49 <0-> относительный максимум. Прикреплена функция сюжета. Подробнее »

Нет абсолютных максимумов или минимумов, у нас есть максимумы в x = 16 и минимумы в x = 0 Максимумы появятся там, где f '(x) = 0 и f' '(x) <0 для f (x) = (x +1) (x-8) ^ 2 + 9 f '(x) = (x-8) ^ 2 + 2 (x + 1) (x-8) = (x-8) (x-8 + 2x + 2) = (x-8) (3x-6) = 3 (x-8) (x-2) Очевидно, что когда x = 2 и x = 8, мы имеем экстремумы, но f '' (x) = 3 (x-2) +3 (x-8) = 6x-30 и при x = 2, f '' (x) = - 18 и при x = 8, f '' (x) = 18 Следовательно, когда x в [ 0,16] мы имеем локальные максимумы в x = 2 и локальные минимумы в x = 8 не абсолютные максимумы или минимумы. В интервале [0,16] у нас есть мак Подробнее »

Абсолютный минимум составляет -25/2 (при x = -sqrt (25/2)). Абсолютный максимум составляет 25/2 (при x = sqrt (25/2)). f (-4) = -12 и f (5) = 0 f '(x) = sqrt (25-x ^ 2) + x / (отмена (2) sqrt (25-x ^ 2)) * - отмена ( 2) x = (25-x ^ 2-x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) = (25-2x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) Критическими числами f являются x = + -sqrt (25/2) Оба они находятся в [-4,5] .. f (-sqrt (25/2)) = -sqrt (25/2) sqrt (25-25 / 2) = -sqrt ( 25/2) sqrt (25/2) = -25/2 По симметрии (f нечетно), f (sqrt (25/2)) = 25/2 Резюме: f (-4) = -12 f (-sqrt (25/2)) = -25/2 f (sqrt (25/2)) = 25/2 f (5) = 0 Абсолютный минимум составляет -25/2 (при Подробнее »

В интервале (2, 5) нет абсолютных экстремумов. Дано: f (x) = x - sqrt (5x - 2) в (2, 5). Чтобы найти абсолютные экстремумы, нам нужно найти первую производную и выполнить первую производную. проверьте, чтобы найти любые минимумы или максимумы, а затем найдите значения y конечных точек и сравните их. Найдите первую производную: f (x) = x - (5x - 2) ^ (1/2) f '(x) = 1 - 1/2 (5x - 2) ^ (- 1/2) (5) f '(x) = 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) Найти критическое значение (я) f' (x) = 0: 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) = 0 1 = 5 / ( 2sqrt (5x - 2)) 2sqrt (5x - 2) = 5 sqrt (5x - 2) = 5/2 Квадрат с обеих сторон: 5x - 2 = + - 25/4 Посколь Подробнее »

Абсолютный максимум: (5, 1/10) абсолютный минимум: (0, 0) Дано: f (x) = x / (x ^ 2 + 25) «на интервале» [0, 9] Абсолютные экстремумы можно найти, оценив конечные точки и нахождение любых относительных максимумов или минимумов и сравнение их значений у. Оценить конечные точки: f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => ( 9, 9/106) ~~ (9, .085) Найдите любые относительные минимумы или максимумы, установив f '(x) = 0. Используйте фактор-правило: (u / v)' = (vu '- uv') / v ^ 2 Пусть и = х; "" у '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v &# Подробнее »

Абсолютных экстремумов не существует, поскольку f (x) неограничен. Существуют локальные экстремумы: LOCAL MAX: x = -1 LOCAL MIN: x = 1 ТОЧКА НАГРУЗКИ x = 0 Абсолютных экстремумов не существует, поскольку lim_ (x rarr + -oo) f ( x) rarr + -oo Вы можете найти локальные экстремумы, если таковые имеются. Чтобы найти f (x) экстремумы или критические точки, мы должны вычислить f '(x), когда f' (x) = 0 => f (x) имеет стационарную точку (MAX, min или точку перегиба). Тогда мы должны найти, когда: f '(x)> 0 => f (x) увеличивается f' (x) <0 => f (x) уменьшается. Следовательно: f '(x) = d / dx (5x ^ Подробнее »

Нам нужно найти критические значения f (x) в интервале [1,4]. Следовательно, мы вычисляем корни первой производной, поэтому имеем (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2, поэтому f ( 2) = 5 Также мы находим значения f в конечных точках, следовательно, f (1) = 1 + 2 = 3, f (4) = 16 + 2/4 = 16,5. Наибольшее значение функции при x = 4, следовательно, f (4) ) = 16,5 - абсолютный максимум для f в [1,4]. Наименьшее значение функции находится в точке x = 1, поэтому f (1) = 3 - абсолютный минимум для f в [1,4]. График функции f в [1 , 4] Подробнее »

Абсолютные экстремумы могут возникать на границах, локальных экстремумах или неопределенных точках. Найдем значения f (x) на границах x = 3 и x = 7. Это дает нам f (3) = 1 и f (7) = 7/43. Затем найдите локальные экстремумы по производной. Производная от f (x) = x / (x ^ 2-6) может быть найдена с использованием правила отношения: d / dx (u / v) = ((du) / dxv-u (dv) / dx) / v ^ 2 где u = x и v = x ^ 2-6. Таким образом, f '(x) = - (x ^ 2 + 6) / (x ^ 2-6) ^ 2. Локальные экстремумы возникают, когда f '(x) = 0, но нигде в x в [3,7] нет f' (x) = 0. Затем найдите любые неопределенные точки. Однако для всех x в [3,7] оп Подробнее »

Абсолютный минимум -1 при x = 1 и абсолютный максимум 19 при x = 3. Есть два кандидата на абсолютные экстремумы интервала. Они являются конечными точками интервала (здесь, 0 и 3) и критическими значениями функции, расположенными в пределах интервала. Критические значения можно найти, найдя производную функции и определив, для каких значений x она равна 0. Мы можем использовать степенное правило, чтобы найти, что производная f (x) = x ^ 3-3x + 1 равна f '( х) = 3x ^ 2-3. Критические значения - это когда 3x ^ 2-3 = 0, что упрощается до x = + - 1. Однако x = -1 не входит в интервал, поэтому единственное допустимое критиче Подробнее »

Местные минимумы. это -2187/128. Глобальные минимумы = -2187 / 128 ~ = -17.09. Глобальная Максима = 64. Для экстремумов f '(x) = 0. Р '(х) = (х-2) * 3 (х-5) ^ 2 + (х-5) ^ 3 * 1 = (х-5) ^ 2 {3x-6 + х-5] = (4x -11) (х-5) ^ 2. f '(x) = 0 rArr x = 5! в [1,4], поэтому нет необходимости в дополнительном косидерации & x = 11/4. f '(x) = (4x-11) (x-5) ^ 2, rArr f' '(x) = (4x-11) * 2 (x-5) + (x-5) ^ 2 * 4 = 2 (х-5) {4x-11 + 2х-10} = 2 (х-5) (6х-21). Теперь f '' (11/4) = 2 (11 / 4-5) (33 / 2-21) = 2 (-9/4) (- 9/2)> 0, показывая, что f (11 / 4) = (11 / 4-2) (11 / 4-5) ^ 3 = (3/2) (- 9/4) ^ 3 = - Подробнее »

(-4, -381) и (8,2211) Чтобы найти экстремумы, нужно взять производную функции и найти корни производной. то есть решить для d / dx [f (x)] = 0, использовать правило мощности: d / dx [6x ^ 3 - 9x ^ 2-36x + 3] = 18x ^ 2-18x-36 решить для корней: 18x ^ 2-18x-36 = 0 x ^ 2-x-2 = 0, множитель квадратичный: (x-1) (x + 2) = 0 x = 1, x = -2 f (-1) = -6- 9 + 36 + 3 = 24 f (2) = 48-36-72 + 3 = -57 Проверьте границы: f (-4) = -381 f (8) = 2211 Таким образом, абсолютные экстремумы равны (-4, - 381) и (8,2211) Подробнее »

Абсолютный минимум равен 0 (при x = 0), а абсолютный максимум равен 1 (при x = 1). f '(x) = ((1) (x ^ 2-x + 1) - (x) (2x-1)) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 = (1-x ^ 2) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 f '(x) никогда не является неопределенным и равно 0 при x = -1 (чего нет в [0,3]) и при x = 1. Проверяя конечные точки интеграла и критического числа в интервале, мы находим: f (0) = 0 f (1) = 1 f (3) = 3/7 Итак, абсолютный минимум равен 0 (при x = 0) и абсолютный максимум равен 1 (при х = 1). Подробнее »

Проверьте ответ ниже. Для x = 0 имеем f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 Рассмотрим новую функцию g (x) = xe ^ (- x) +1, xinRR g (0 ) = 0, g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0, xinRR В результате g увеличивается в RR. Таким образом, поскольку он строго увеличивается, g равно «1-1» (один к одному). Итак, f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 <=> g (f (0)) = g ( 0) <=> f (0) = 0 Нам нужно показать, что х / 2 ^ (x> 0) 1/2 1/2 <(Р (х) -f (0)) / (х-0)Подробнее »

Смотри ниже, я не уверен на 100% в этом, но это был бы мой ответ. Определение четной функции: f (-x) = f (x) Следовательно, f (-a) = f (a). Поскольку f (a) непрерывна и f (-a) = f (a), то f (-a) также непрерывна. Подробнее »

Dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx Мне нравится ставить задачу равной y, если ее еще нет. Также это поможет в нашем случае переписать задачу, используя свойства логарифмов; y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) Теперь мы делаем две замены, чтобы облегчить чтение проблемы; Допустим, теперь w = cosh (lnx) и u = cosx; y = ln (w) + ln (u) ааа, мы можем работать с этим :) Давайте возьмем производную по x обеих сторон. (Поскольку ни одна из наших переменных не равна x, это будет неявное дифференцирование) d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) Хорошо, мы знаем, что производная lnx равна 1 / x и используя цепное правило мы получае Подробнее »

E ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) Подстановка здесь очень поможет! Допустим, что x ^ (1/2) = u сейчас, y = e ^ u Мы знаем, что производная от e ^ x есть e ^ x, поэтому; dy / dx = e ^ u * (du) / dx с использованием правила цепочки d / dx x ^ (1/2) = (du) / dx = 1/2 * x ^ (- 1/2) = 1 / ( 2sqrt (x)) Теперь вставьте (du) / dx и u обратно в уравнение: D dy / dx = e ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) Подробнее »

(1,1) и (1, -1) являются поворотными точками. y ^ 3 + 3xy ^ 2-x ^ 3 = 3 Используя неявное дифференцирование, 3y ^ 2times (dy) / (dx) + 3xtimes2y (dy) / (dx) + 3y ^ 2-3x ^ 2 = 0 (dy) / (dx) (3y ^ 2 + 6xy) = 3x ^ 2-3y ^ 2 (dy) / (dx) = (3 (x ^ 2-y ^ 2)) / (3y (y + 2x)) (dy) / (dx) = (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) Для точек поворота (dy) / (dx) = 0 (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) = 0 x ^ 2-y ^ 2 = 0 (xy) (x + y) = 0 y = x или y = -x Sub y = x обратно в исходное уравнение x ^ 3 + 3x * x ^ 2- x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 Поэтому (1,1) является одной из 2 поворотных точек Sub y = -x обратно в исходное уравнение x ^ 3 + 3x * (- Подробнее »

(0, -2) - седловая точка (-5,3) - локальный минимум. Нам дано g (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y. Сначала нам нужно найти точки, где (delg) / (delx) и (delg) / (dely) оба равны 0. (delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 (delg) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 6 (x + y + 2) = 0 6 (x + y ^ 2-4) = 0 x + y + 2 = 0 x = -y-2 -y-2 + y ^ 2-4 = 0 y ^ 2- y-6 = 0 (y-3) (y + 2) = 0 y = 3 или -2 x = -3-2 = -5 x = 2-2 = 0 Критические точки возникают в (0, -2) и (-5,3) Теперь для классификации: определитель f (x, y) задается как D (x, y) = (del ^ 2g) / (delx ^ 2) (del ^ 2g) / (dely ^ 2 ) - ((del ^ 2g) / (delxy)) ^ 2 (del ^ 2g) / (delx ^ 2) = del Подробнее »

Давайте начнем с введения некоторых определений. Если мы назовем h высотой бокса, а x - меньшими сторонами (то есть, большие стороны будут 2x, мы можем сказать, что объем V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000, из которого мы извлекаем hh = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 Теперь для поверхностей (= материал) Верх и низ: 2x * x times 2-> Area = 4x ^ 2 Короткие стороны: x * h times 2-> Area = 2xh Длинные стороны: 2x * h раз 2-> Площадь = 4xh Общая площадь: A = 4x ^ 2 + 6xh Подставляя для h A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 Чтобы найти минимум, мы дифференцируем и устанавливаем A & Подробнее »

Область определения: f (x) = 2x ^ 2lnx - это интервал x в (0, + oo). Оцените первую и вторую производные функции: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Критическими точками являются решения: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 и при x> 0: 1 + 2 lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) В этой точке: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, поэтому критической точкой является локальный минимум. Седловые точки являются решениями: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6, и так как f '' (x) монотонно возрастает, мы можем Подробнее »

Эта функция не имеет стационарных точек (вы уверены, что f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x - это та, которую вы хотели изучить ?!). Согласно наиболее распространенному определению седловых точек (стационарных точек, которые не являются экстремумами), вы ищете стационарные точки функции в ее области D = (x, y) в RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , у) в RR ^ 2}. Теперь мы можем переписать выражение, заданное для f, следующим образом: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x. Способ их идентификации заключается в поиске точек, которые сводят на нет градиент f, который является вектором частных производных: nabla f = ((del f Подробнее »

{: («Критическая точка», «Заключение»), ((0,0), «мин»), ((-1, -2), «седло»), ((-1,2), «седло» ), ((-5 / 3,0), "max"):} Теория для определения экстремумов z = f (x, y): Решить одновременно критические уравнения (частичное f) / (частичное x) = (частичное f) / (частичное y) = 0 (т. е. z_x = z_y = 0) Оцените f_ (xx), f_ (yy) и f_ (xy) (= f_ (yx)) в каждой из этих критических точек , Следовательно, оцените Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 в каждой из этих точек. Определите природу экстремумов; {: (Delta> 0, «Существует минимум, если» f_ (xx) <0), Подробнее »

Мы имеем: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y Шаг 1 - Найти частные производные Мы вычисляем частную производную функция двух или более переменных путем дифференцирования по одной переменной, в то время как другие переменные рассматриваются как постоянные. Таким образом: Первыми производными являются: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y Вторыми производными (указаны) являются: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx ( 2cos2y) = -12sinxcos2y Вторые частичные перекрестные производные: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = -6cosxsin2y Обратите внимание, что вторы Подробнее »

X = pi / 2 и y = pi x = pi / 2 и y = -pi x = -pi / 2 и y = pi x = -pi / 2 и y = -pi x = pi и y = pi / 2 x = pi и y = -pi / 2 x = -pi и y = pi / 2 x = -pi и y = -pi / 2 Чтобы найти критические точки функции с 2 переменными, необходимо вычислить градиент, который является вектором, содержащим производные по каждой переменной: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Итак, мы имеем d / dx f (x, y) = 6cos (x ) sin (y) и аналогично d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Чтобы найти критические точки, градиент должен быть нулевым вектором (0,0), что означает решение системы {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} что, конечно, Подробнее »

{0,0} седловая точка {0, -2} локальный максимум f (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2), поэтому сионарные точки определяются путем решения grad f (x, y) = vec 0 или {(-2 e ^ yx = 0), (2 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2) = 0):}, давая два решения ((x = 0, y = 0 ), (x = 0, y = -2)) Эти баллы определяются с использованием H = grad (grad f (x, y)) или H = ((- 2 e ^ y, -2 e ^ yx), (- 2 e ^ yx, 2 e ^ y + 4 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2))), поэтому H (0,0) = ((-2, 0), (0, 2 )) имеет собственные значения {-2,2}. Этот результат квалифицирует точку {0,0} как седловую точку. H (0, -2) = ((- - 2 / e ^ 2, 0), (0, -2 / e ^ 2)) имеет собственные Подробнее »

Точки (0,0), (1,0) и (0,1) являются седловыми точками. Точка (1 / 3,1 / 3) является локальной точкой максимума. Мы можем расширить f до f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2. Затем найдите частные производные и установите их равными нулю. frac { частичный f} { частичный x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 frac { частичный f} { частичный y} = xx ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 Ясно, что (x, y) = (0,0), (1,0) и (0,1) являются решениями этой системы, как и критические точки функции f. Другое решение можно найти из системы 1-2x-y = 0, 1-x-2y = 0. Решение первого уравнения для y в терминах x дает y = 1-2x, которое можно включить во второе уравнен Подробнее »

Седловая точка расположена в {x = -63/725, y = -237/725} Стационарные точки определены для решения {x, y} grad f (x, y) = ((9 + 2 x + 27 y ), (3 + 27 x + 2 y)) = vec 0 с получением результата {x = -63/725, y = -237/725} Квалификация этой стационарной точки выполняется после наблюдения корней из связанного с харастерическим полинома к его гессенской матрице. Матрица Гессиана получается следующим образом: H = grad (grad f (x, y)) = ((2,27), (27,2)) с характерным полиномом p (lambda) = lambda ^ 2- «trace» (H) лямбда + дет (H) = лямбда ^ 2-4 лямбда-725 Решая для лямбды, мы получаем лямбда = {-25,29}, отличные от нуля Подробнее »

Я не нашел седловых точек, но был минимум: f (1/3, -2 / 3) = -1/3. Чтобы найти экстремумы, возьмите частную производную по x и y, чтобы увидеть, могут ли обе частные производные одновременно равно 0. ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 Если они одновременно должны равняться 0, они образуют систему уравнений: 2 ( 2x + y + 0 = 0) x + 2y + 1 = 0 Эта линейная система уравнений при вычитании для исключения y дает: 3x - 1 = 0 => цвет (зеленый) (x = 1/3) => 2 (1/3) + y = 0 => color (green) (y = -2/3) Поскольку уравнения были линейными, была только одна критическая точка и, следовательно, тол Подробнее »

См. Ответ ниже: 1.Благодаря бесплатному программному обеспечению, которое поддерживает нас с графикой. http://www.geogebra.org/ 2.Спасибо веб-сайту WolframAlpha, который дал нам численное приблизительное решение системы с неявными функциями. http://www.wolframalpha.com/ Подробнее »

V = pi-1 / 4pi ^ 2 Формула для определения объема твердого тела, полученного вращением функции f вокруг оси x, имеет вид V = int_a ^ bpi [f (x)] ^ 2dx Так что для f (x) = cotx, объем его тела вращения между пи "/" 4 и пи "/" 2 равен V = int_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) pi (cotx) ^ 2dx = piint_ (pi "/" 4) ^ (пи "/" 2) кроватка ^ 2xdx = piint_ (пи "/" 4) ^ (пи "/" 2) CSC ^ 2x-1DX = -pi [cotx + X] _ (пи» / "4) ^ (пи" / "2) = - р ((0-1) + (пи / пи-2/4)) = пи-1/2 ^ 4pi Подробнее »

Седловая точка в начале координат. Мы имеем: f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x И поэтому мы выводим частные производные. Помните, что при частичном дифференцировании мы дифференцируем по рассматриваемой переменной, рассматривая другие переменные как константу. И так: (частичное f) / (частичное x) = 2xy-y ^ 2 и (частичное f) / (частичное y) = x ^ 2-2yx В экстремальных или седловых точках мы имеем: ( частичное f) / (частичное x) = 0 и (частичное f) / (частичное y) = 0 одновременно: то есть одновременное решение: 2xy-y ^ 2 = 0 => y ( 2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y Сл Подробнее »

Точка (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) приблизительно (1.26694,1.16437) является точкой локального минимума. Частные производные первого порядка: (частичное f) / (частичное x) = y-3x ^ {- 4} и (частичное f) / (частичное y) = x-2y ^ {- 3}. Установка их обоих равными нулю приводит к системе y = 3 / x ^ (4) и x = 2 / y ^ {3}. Подстановка первого уравнения во второе дает x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27. Поскольку x! = 0 в области f, это приводит к x ^ {11} = 27/2 и x = (27/2) ^ {1/11}, так что y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} Частные производные второго порядка: (частичные ^ {2} f) Подробнее »

В (3,3,27) есть один экстремум: f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y. Таким образом, мы выводим частные производные: (частичное f) / (частичное x) = y - 27 / x ^ 2 и (частичное f) / (частичное y) = x - 27 / y ^ 2 В экстремальных или седловых точках имеем: (частичное f) / (частичное x) = 0 и (частичное f) / (частичное y) = 0 одновременно: то есть одновременное решение: y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 Вычитание этих уравнений дает: x ^ 2y-xy ^ 2 = 0:. xy (x-y) = 0:. х = 0; у = 0; x = y Мы можем устранить x = 0; y = 0 и, таким образом, x = y - единственное правильное решение, которо Подробнее »

(0,0) является седловой точкой (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) и (-1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) являются локальными максимумами (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) и (-1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) - локальные минимумы (0, pm 1 / sqrt 2) и (pm 1 / sqrt 2,0) - точки перегиба. Для общей функции F (x, y) со стационарной точкой в (x_0, y_0) мы имеем разложение в ряд Тейлора F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots Для функции f (x) = xy e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} имеем (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + xy (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} (del f) / (d Подробнее »

Мы имеем: f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) Шаг 1 - Найти частные производные Мы вычисляем частную производную функции двух или более переменных путем дифференцирования по одной переменной, в то время как другие переменные рассматриваются как постоянные. Таким образом: Первые производные: f_x = y + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2x) = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_y = x + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2y) = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) Вторые производные (указаны): f_ (xx) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_ (yy) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ ( -x ^ 2-y ^ 2) Вторые частичные перекрестные производные: f_ (xy) = 1 + 4 Подробнее »

{: («Критическая точка», «Заключение»), ((0,0,0), «седло»):} Теория для определения экстремумов z = f (x, y): Решить одновременно критические уравнения (частичное f) / (частичное x) = (частичное f) / (частичное y) = 0 (т.е. f_x = f_y = 0) Оценить f_ (xx), f_ (yy) и f_ (xy) (= f_ (yx)) в каждой из этих критических точек. Следовательно, оцените Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 в каждой из этих точек. Определите природу экстремумов; {: (Delta> 0, «Существует минимум, если» f_ (xx) <0), (, «и максимум, если« f_ (yy)> 0), (Delta <0, «есть седловая точка
Подробнее »

Всегда начинайте с эскиза функции в течение интервала. На интервале [1,6] график выглядит следующим образом: как видно из графика, функция увеличивается от 1 до 6. Таким образом, локального минимума или максимума нет. Однако абсолютные экстремумы будут существовать в конечных точках интервала: абсолютный минимум: f (1) = 11 абсолютный максимум: f (6) = 1/216 + 60 ~ 60,005 надеюсь, что это помогло Подробнее »

Max f = 1. Минимума нет. у = Р (х) = 1-sqrtx. График вставлен. Это представляет полупараболу в квадрантах Q_1 и Q_4, где x> = 0. Max y находится в конце (0, 1). Конечно, нет минимума. Обратите внимание, что от x до oo, y до -oo. Родительское уравнение (y-1) ^ 2 = x, которое можно разделить на y = 1 + -sqrtx. график {y + sqrtx-1 = 0 [-2,5, 2,5, -1,25, 1,25]} Подробнее »

Существует глобальный минимум 2 при x = -1 и глобальный максимум 27 при x = 4 на интервале [-2,4]. Глобальные экстремумы могут возникать на интервале в одном из двух мест: в конечной точке или в критической точке в пределах интервала. Конечные точки, которые мы должны будем проверить, это x = -2 и x = 4. Чтобы найти какие-либо критические точки, найдите производную и установите ее равной 0. f (x) = 2 + (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 2 + 2x + 3 Через степенное правило f '(x) = 2x + 2 Установка равна 0, 2x + 2 = 0 "" => "" x = -1 Существует критическая точка при x = -1, что означает, что это также может бы Подробнее »

F (x) имеет абсолютный максимум -1 при x = 1 f (x) = -2x ^ 2 + 4x-3 f (x) непрерывен на [-oo, + oo], поскольку f (x) является параболой с членом в x ^ 2, имеющим -ve коэффициент, f (x) будет иметь один абсолютный максимум, где f '(x) = 0 f' (x) = -4x + 4 = 0 -> x = 1 f ( 1) = -2 + 4-3 = -1 Таким образом: f_max = (1, -1) Этот результат можно увидеть на графике f (x) ниже: график {-2x ^ 2 + 4x-3 [-2.205 , 5,59, -3,343, 0,554]} Подробнее »

X_1 = -2 - максимум x_2 = 1/3 - минимум. Сначала мы определяем критические точки, приравнивая первую производную к нулю: f '(x) = 6x ^ 2 + 10x -4 = 0, давая нам: x = frac (-5 + - sqrt (25 + 24)) 6 = ( -5 + - 7) / 6 x_1 = -2 и x_2 = 1/3 Теперь изучим знак второй производной вокруг критических точек: f '' (x) = 12x + 10, так что: f '' (- 2) <0, то есть x_1 = -2, это максимум f '' (1/3)> 0, то есть x_2 = 1/3, это минимум. график {2x ^ 3 + 5x ^ 2-4x-3 [-10, 10, -10, 10]} Подробнее »

Абсолютный минимум в области происходит в ок. (pi / 2, 3.7124), и абсолютный максимум на области происходит в прибл. (3pi / 4, 5,6544). Здесь нет локальных экстремумов. Прежде чем мы начнем, нам следует проанализировать и посмотреть, принимает ли sin x значение 0 в любой точке интервала. грех x равен нулю для всех x, таких что x = npi. pi / 2 и 3pi / 4 оба меньше pi и больше 0pi = 0; таким образом, sin x здесь не принимает значение ноль. Чтобы определить это, напомним, что экстремум возникает либо где f '(x) = 0 (критические точки), либо в одной из конечных точек. Имея это в виду, мы берем производную от указанного выш Подробнее »

F (x) имеет минимум при x = 2. Прежде чем продолжить, обратите внимание, что это парабола, обращенная вверх, что означает, что мы можем без дальнейших вычислений знать, что у нее не будет максимумов и единственного минимума в ее вершине. Завершение квадрата покажет нам, что f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1, давая вершину и, следовательно, единственный минимум при x = 2. Посмотрим, как это будет сделано с исчислением. Любые экстремумы будут возникать либо в критической точке, либо в конечной точке данного интервала. Поскольку наш заданный интервал (-oo, oo) открыт, мы можем игнорировать возможность конечных точек и поэтому сначала о Подробнее »

Посмотрим. Пусть заданная функция будет y такой, что rarr y = f (x) = - x ^ 2 + 2x + 3 Теперь дифференцируем по x: dy / dx = -2x + 2 Теперь производная второго порядка: (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -2 Теперь производная второго порядка отрицательна. Следовательно, функция имеет только экстремумы и никаких минимумов. Поэтому точка максимума -2. Максимальное значение функции - f (-2). Надеюсь, поможет:) Подробнее »

Посмотрим. Пусть заданная функция будет y такой, что rarr для любого значения x в данном диапазоне. y = f (x) = - 3x ^ 2 + 30x-74: .dy / dx = -6x + 30:. (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -6 Теперь, поскольку производная второго порядка функции имеет вид отрицательно, значение f (x) будет максимальным. Следовательно, точка максимумов или экстремумов может быть получена только. Теперь, для максимумов или минимумов, dy / dx = 0: .- 6x + 30 = 0: .6x = 30: .x = 5 Следовательно, точка максимумов равна 5. (Ответ). Таким образом, максимальное значение или предельное значение f (x) равно f (5). : .f (5) = - 3. (5) ^ 2 + 30,5-74: .f (5) = - 75 + Подробнее »

Функция не содержит экстремумов. Найдите f '(x) через фактор-правило. f '(x) = ((x ^ 2-1) d / dx (3x) -3xd / dx (x ^ 2-1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (3 (x ^ 2 -1) -3x (2x)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (- 3 (x ^ 2 + 1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 Найдите точки поворота функции. Это происходит, когда производная функции равна 0. f '(x) = 0, когда числитель равен 0. -3 (x ^ 2 + 1) = 0 x ^ 2 + 1 = 0 x ^ 2 = -1 f' (x) никогда не равно 0. Таким образом, функция не имеет экстремумов. график {(3x) / (x ^ 2-1) [-25,66, 25,66, -12,83, 12,83]} Подробнее »

Функция имеет минимум при x = 3, где f (3) = - 35 f (x) = 4x ^ 2-24x + 1 1-я производная дает нам градиент линии в конкретной точке. Если это стационарная точка, это будет ноль. f '(x) = 8x-24 = 0: .8x = 24 x = 3 Чтобы увидеть, какой тип стационарной точки мы имеем, мы можем проверить, увеличивается или уменьшается 1-я производная. Это дается знаком 2-й производной: f '' (x) = 8 Так как это + ve, 1-я производная должна увеличиваться, указывая минимум для f (x). graph {(4x ^ 2-24x + 1) [-20, 20, -40, 40]} Здесь f (3) = 4xx3 ^ 2- (24xx3) + 1 = -35 Подробнее »

Max при x = 1 и Min x = 0. Возьмем производную исходной функции: f '(x) = 18x-18x ^ 2. Установите значение 0, чтобы найти, где производная функция изменится с положительной на отрицательную. , это скажет нам, когда исходная функция изменит свой наклон с положительного на отрицательный. 0 = 18x-18x ^ 2 Коэффициент a 18x из уравнения 0 = 18x (1-x) x = 0,1 Создайте линию и нанесите значения 0 и 1 Введите значения до 0, после 0, до 1 и после 1 Затем укажите, какие части линейного графика являются положительными, а какие - отрицательными. Если график переходит от отрицательного к положительному (от низшей точки к высокой то Подробнее »

Найти критические значения на интервале (когда f '(c) = 0 или не существует). f (x) = 64-x ^ 2 f '(x) = - 2x Установить f' (x) = 0. -2x = 0 x = 0 И f '(x) всегда определяется. Чтобы найти экстремумы, подключите конечные точки и критические значения. Обратите внимание, что 0 соответствует обоим этим критериям. f (-8) = 0larr «абсолютный минимум» f (0) = 64larr «абсолютный максимум» график {64-x ^ 2 [-8, 0, -2, 66]} Подробнее »

F (x)> 0. Максимум f (x) isf (0) = 1. Ось x асимптотична f (x) в обоих направлениях. f (x)> 0. Используя функцию правила функции, y '= - 2xe ^ (- x ^ 2) = 0, при x = 0. y' '= - 2e ^ (- x ^ 2) -2x (- 2x) e ^ (- x ^ 2) = - 2, при x = 0. При x = 0 y '= 0 и y' '<0. Таким образом, f (0) = 1 является максимумом для f (x ), Как требуется, . 1 в [-.5, a], a> 1. x = 0 асимптотически относительно f (x) в обоих направлениях. Поскольку xto + -oo, f (x) to0 Интересно, что график y = f (x) = e ^ (- x ^ 2) представляет собой масштабированную (1 единица = 1 / sqrt (2 pi)) нормальную кривую вероятности, Подробнее »

Абсолютный минимум -512 при x = 8 и абсолютный максимум 1/32 при x = 1/16. При нахождении экстремумов на интервале они могут находиться в двух местах: при критическом значении или на одной из конечных точек интервала. Чтобы найти критические значения, найдите производную функции и установите ее равной 0. Поскольку f (x) = - 8x ^ 2 + x, из степенного правила мы знаем, что f '(x) = - 16x + 1. Установка этого значения равным 0 оставляет нам одно критическое значение при x = 1/16. Таким образом, наши местоположения для потенциальных максимумов и минимумов находятся в x = -4, x = 1/16 и x = 8. Найдите каждое из значений их Подробнее »

X = -3 или x = -1 f = e ^ x, g = x ^ 2 + 2x + 1 f '= e ^ x, g' = 2x + 2 f '(x) = fg' + gf '= e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (2x + 2 + x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 e ^ x (x + 3) (x + 1) = 0 e ^ x = 0 или x + 3 = 0 или x + 1 = 0 невозможно, x = -3 или x = -1 f ( -3) = е ^ -3 (9-6 + 1) = 0,199-> max f (-1) = е ^ -1 (1-2 + 1) = 0-> мин Подробнее »

Экстремум при х = 2; полученный решением f '(x) = 0 f' (x) = 2x -4 = 0; Посмотрите на график, это поможет. граф {x ^ 2-4x + 3 [-5, 5, -5, 5]} решить для х. Обычно вы находите первую производную и вторую производную, чтобы найти экстремумы, но в этом случае тривиально просто найти первую производную. ЗАЧЕМ? Вы должны быть в состоянии ответить на этот вопрос. f (x) = x ^ 2 - 4x + 3; f '(x) = 2x -4; f '' = 2 константа Теперь установите f '(x) = 0 и решите для ==> x = 2 Подробнее »

Вычисление отрицательного: f (x) = - [sin ^ 2 (ln (x ^ 2)) + cos ^ 2 (ln (x ^ 2))] Напомним, что sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1: f ( x) = - 1 f постоянная функция. Он не имеет относительных экстремумов и равен -1 для всех значений x от 0 до 2pi. Подробнее »

Поскольку f (x) везде дифференцируемо, просто найдите, где f '(x) = 0 f' (x) = sin (x) -cos (x) = 0 Решить: sin (x) = cos (x) Теперь либо используйте круг единицы или нарисуйте график обеих функций, чтобы определить, где они равны: На интервале [0,2pi], два решения: x = pi / 4 (минимум) или (5pi) / 4 (максимум) надежда что помогает Подробнее »

Минимум f (9), а максимум f (-4). f '(x) = 2x-192, поэтому критических чисел для f в выбранном интервале нет. Следовательно, минимум и максимум происходят в конечных точках. f (-4) = 16 + 192 (4) +8 явно положительное число, а f (9) = 81-192 (9) +4 явно отрицательно. Итак, минимум равен f (9), а максимум равен f (-4). Подробнее »

(3,2) это минимум. (1,6) и (6,11) являются максимумами. Относительные экстремумы возникают, когда f '(x) = 0. То есть когда 2х-6 = 0. т.е. когда х = 3. Чтобы проверить, является ли x = 3 относительным минимумом или максимумом, мы наблюдаем, что f '' (3)> 0 и, следовательно, => x = 3 является относительным минимумом, то есть (3, f (3)) = (3 , 2) является относительным минимумом, а также абсолютным минимумом, поскольку он является квадратичной функцией. Поскольку f (1) = 6 и f (6) = 11, это означает, что (1,6) и (6,11) являются абсолютными максимумами на интервале [1,6]. график {x ^ 2-6x + 11 [-3,58, 21,73, Подробнее »

Относительный максимум при (5/2, 21/4) = (2.5, 5.25) Найдите первую производную: f (x) '= -2x + 5 Найдите критическое число (числа): f' (x) = 0; x = 5/2 Используйте 2-й производный тест, чтобы увидеть, является ли критическое число относительным макс. или относительный мин .: f '' (x) = -2; f '' (5/2) <0; относительный макс. при x = 5/2 Найдите значение y максимума: f (5/2) = - (5/2) ^ 2 + 5 (5/2) - 1 = -25/4 + 25/2 -1 = -25/4 + 50/4 - 4/4 = 21/4 относительный максимум при (5/2, 21/4) = (2,5, 5,25) Подробнее »

Функция имеет минимум на графике x = 4 {x ^ 2-8x + 12 [-10, 10, -5, 5]} Дано - y = x ^ 2-8x + 12 dy / dx = 2x-8 dy / dx = 0 => 2x-8 = 0 x = 8/2 = 4 (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 при x = 4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 Следовательно, функция имеет минимум при x = 4 Подробнее »

Данная функция всегда уменьшается и поэтому не имеет ни максимума, ни минимума. Производная функции равна y '= (2x (x ^ 2-3x) -x ^ 2 (2x-3)) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = = (отменить (2x ^ 3) -6x ^ 2cancel (-2x ^ 3) + 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = (- 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 и y '<0 AA x в [4; 9] Для данной функции функция всегда уменьшается и поэтому не имеет ни максимального, ни минимального графика {x ^ 2 / (x ^ 2-3x) +8 [-0,78, 17 , 4.795, 13.685]} Подробнее »

У нас есть минимумы в x = 0 и точка перегиба в x = 3. Максимумы - это высокая точка, до которой функция поднимается, а затем снова падает. Таким образом, наклон касательной или значение производной в этой точке будет равно нулю. Кроме того, поскольку касательные слева от максимумов будут наклоняться вверх, затем сглаживаться и затем наклоняться вниз, наклон касательной будет непрерывно уменьшаться, то есть значение второй производной будет отрицательным. С другой стороны, минимумы - это нижняя точка, до которой функция падает, а затем снова поднимается. Как таковая, тангенс или значение производной в минимумах тоже будут р Подробнее »

Минимум: f (-2) = 1 Максимум: f (+2) = 9 Шаги: Оценить конечные точки данной области f (-2) = (- 2) ^ 3-2 (-2) +5 = -8 + 4 + 5 = цвет (красный) (1) f (+2) = 2 ^ 3-2 (2) +5 = 8-4 + 5 = цвет (красный) (9) Оценить функцию в любых критических точках в пределах Домен. Для этого найдите точку (и) в Домене, где f '(x) = 0 f' (x) = 3x ^ 2-2 = 0 rarrx ^ 2 = 2/3 rarr x = sqrt (2/3) " или "x = -sqrt (2/3) f (sqrt (2/3)) ~~ color (red) (3.9) (и, нет, я не понял это вручную) f (-sqrt (2 /3))~color(red)(~6.1) Минимум {color (red) (1, 9, 3.9, 6.1)} = 1 при x = -2 Максимум {color (red) (1,9,3,9 , 6.1)} = 9 при x = + 2 Во Подробнее »

Экстремум функции (4,5, -0,25) f (x) = (x-4) (x-5) можно переписать в f (x) = x ^ 2 - 5x - 4x + 20 = x ^ 2- 9й + 20. Если вы производите функцию, вы получите следующее: f '(x) = 2x - 9. Если вы не знаете, как получить такие функции, посмотрите описание ниже. Вы хотите знать, где f '(x) = 0, потому что именно там градиент = 0. Положите f' (x) = 0; 2x - 9 = 0 2x = 9 x = 4.5 Затем поместите это значение x в исходную функцию. f (4.5) = (4.5 - 4) (4.5-5) f (4.5) = 0.5 * (-0.5) f (4.5) = -0.25 Краткий курс о том, как получить следующие типы функций: Умножьте показатель степени на основание число и уменьшите показател Подробнее »

Найти критические значения f (x) на интервале [0,5]. f '(x) = ((x ^ 2 + 9) d / dx [x] -xd / dx [x ^ 2 + 9]) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = (x ^ 2 + 9-2x ^ 2) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f '(x) = - (x ^ 2-9) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = 0 когда х = + - 3. f '(x) никогда не бывает неопределенным. Чтобы найти экстремумы, вставьте конечные точки интервала и любые критические числа внутри интервала в f (x), что в данном случае составляет всего 3. f (0) = 0larr «абсолютный минимум» f (3) = 1 / 6larr «абсолютный максимум» f (5) = 5/36 Проверить график: график {x / (x ^ 2 + 9) [-0,02, 5, -0,02, 0,2]} Подробнее »

Абсолютных экстремумов не существует, и существование относительных экстремумов зависит от вашего определения относительных экстремумов. f (x) = x / (x-2) увеличивается без ограничения как xrarr2 справа. То есть: lim_ (xrarr2 ^ +) f (x) = oo Итак, функция не имеет абсолютного максимума на [-5,5] f уменьшается без ограничения как xrarr2 слева, поэтому абсолютного минимума на [-5 нет , 5]. Теперь f '(x) = (-2) / (x-2) ^ 2 всегда отрицательно, поэтому, принимая область за [-5,2) uu (2,5], функция уменьшается на [- 5,2) и on (2,5]. Это говорит о том, что f (-5) является наибольшим значением f поблизости, учитывая только зн Подробнее »

X = + - pi / 4 для x в [-pi / 2, pi / 2] g (x) = 2sin (2x-pi) +4 g (x) = -2sin (2x) +4 Для экстремумов g ( x), g '(x) = 0 g' (x) = -4cos (2x) g '(x) = 0 -4cos (2x) = 0 cos (2x) = 0 2x = + - pi / 2 x = + -pi / 4 для x в [-pi / 2, pi / 2] Подробнее »

Локальными экстремумами являются x = -1 и x = 10 Экстремумы функции можно найти, когда первая производная равна нулю. В этом случае функция является линией, поэтому конечными точками функции в обозначенном диапазоне являются экстремумы, а производной - наклон линии. Минимум: (-1, -85) Максимум: # (10, -30) Подробнее »

Экстремумы находятся в x = + - 1 и x = + - sqrt (1/35) h (x) = 7x ^ 5 -12x ^ 3 + x h '(x) = 35x ^ 4 -36x ^ 2 +1 Факторизация h '(x) и приравнивая его к нулю, это будет (35x ^ 2 -1) (x ^ 2-1) = 0 Следовательно, критические точки + -1, + -sqrt (1/35) h' '( x) = 140x ^ 3-72x Для x = -1, h '' (x) = -68, следовательно, будут максимумы при x = -1 для x = 1, h '' (x) = 68, следовательно при x = 1 будут минимумы для x = sqrt (1/35), h '' (x) = 0,6761-12,1702 = - 11,4941, следовательно, в этой точке будут максимумы для x = # -sqrt (1 / 35), h '' (x) = -0,6761 + 12,1702 = 11,4941, след Подробнее »

Минимумы (1/4, -27 / 256) и максимумы (1,0) y = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2-x dy / dx = 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x -1 Для стационарных точек dy / dx = 0 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x-1 = 0 (x-1) (4x ^ 2-5x + 1) = 0 (x-1) ^ 2 (4x- 1) = 0 x = 1 или x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 12x ^ 2-18x + 6 Проверка x = 1 d ^ 2y / dx ^ 2 = 0, следовательно, возможна горизонтальная точка перегиба (в этот вопрос, вам не нужно выяснять, является ли это горизонтальной точкой перегиба) Тестирование x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 9/4> 0 Следовательно, минимум и вогнутость при x = 1/4 Теперь, найдя x-перехватчики, пусть y = 0 (x ^ 3-x) (x-3) = 0 x (x ^ 2-1) (x-3) = 0 x = 0, + Подробнее »

Ответ таков: y '' = (- x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. Вот почему: y '= (((cosx + x * (- sinx) -cosx) x ^ 2- (xcosx-sinx) * 2x)) / x ^ 4 = = (- x ^ 3sinx-2x ^ 2cosx + 2xsinx) / x ^ 4 = = (- x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) / x ^ 3 y '' = ((- 2xsinx-x ^ 2cosx-2cosx-2x (-sinx) + 2cosx) x ^ 3- ( -x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) * 3x ^ 2) / x ^ 6 = = ((- x ^ 2cosx) x ^ 3 + 3x ^ 4sinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2sinx) / x ^ 6 = = ( -x ^ 3cosx + 3х ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / х ^ 4. Подробнее »

Мы переписываем f как f (x) = 2x ^ 7 * (1-1 / x ^ 2), но lim_ (x-> oo) f (x) = oo, поэтому глобальных экстремумов не существует. Для локальных экстремумов мы находим точки, где (df) / dx = 0 f '(x) = 0 => 14x ^ 6-10x ^ 4 = 0 => 2 * x ^ 4 * (7 * x ^ 2-5 ) = 0 => x_1 = sqrt (5/7) и x_2 = -sqrt (5/7) Следовательно, мы имеем, что локальный максимум в x = -sqrt (5/7) равен f (-sqrt (5/7)) = 100/343 * sqrt (5/7) и локальный минимум при x = sqrt (5/7) равен f (sqrt (5/7)) = - 100/343 * sqrt (5/7) Подробнее »

Локальными экстремумами являются (0,6) и (1 / 3,158 / 27), а глобальными экстремумами являются + -oo. Мы используем (x ^ n) '= nx ^ (n-1). Найдем первую производную f' ( x) = 24x ^ 2-8x Для локальных экстремумов f '(x) = 0 Итак, 24x ^ 2-8x = 8x (3x-1) = 0 x = 0 и x = 1/3 Итак, давайте сделаем диаграмму знаков xcolor (белый) (aaaaa) -окрашенный (белый) (aaaaa) 0цветный (белый) (aaaaa) 1 / 3color (белый) (aaaaa) + oo f '(x) цвет (белый) (aaaaa) + цвет (белый) ( aaaaa) -цвет (белый) (aaaaa) + f (x) цвет (белый) (aaaaaa) uarrcolor (белый) (aaaaa) darrcolor (белый) (aaaaa) uarr Итак, в точке (0,6) мы имеем локал Подробнее »

F (x) имеет абсолютный минимум при (-1,0) f (x) имеет локальный максимум при (-3, 4e ^ -3) f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) [Правило продукта] = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) Для абсолютных или локальных экстремумов: f '(x) = 0 Вот где: e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0, так как e ^ x> 0 по всем x в RR x ^ 2 + 4x + 3 = 0 (x + 3) ( x-1) = 0 -> x = -3 или -1 f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) [Правило продукта] = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) Опять же, поскольку e ^ x> 0, нам нужно только проверить знак (x ^ 2 + 6x + 7) в наших точках экстремумов, чтобы опред Подробнее »

(0,0) является локальным минимумом и (4 / 3,32 / 27) является локальным максимумом. Здесь нет глобальных экстремумов. Сначала умножьте скобки, чтобы облегчить дифференцирование, и получите функцию в виде y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3. Теперь локальные или относительные экстремумы или точки поворота возникают, когда производная f '(x) = 0, то есть когда 4x-3x ^ 2 = 0, => x (4-3x) = 0 => x = 0 или x = 4/3. следовательно, f (0) = 0 (2-0) = 0 и f (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27. Поскольку вторая производная f '' (x) = 4-6x имеет значения f '' (0) = 4> 0 и f '' (4/3) = - 4 <0, это означает, что Подробнее »

Локальный: x = -2, 0, 2 Global: (-2, -32), (2, 32) Чтобы найти экстремумы, вы просто найдете точки, где f '(x) = 0 или не определено. Итак: d / dx (x ^ 3 + 48 / x) = 0 Чтобы сделать это проблемой правила питания, мы перепишем 48 / x как 48x ^ -1. Теперь: d / dx (x ^ 3 + 48x ^ -1) = 0 Теперь мы просто возьмем эту производную. В итоге получим: 3x ^ 2 - 48x ^ -2 = 0 Переход от отрицательных показателей к дробям снова: 3x ^ 2 - 48 / x ^ 2 = 0 Мы уже можем видеть, где произойдет одна из наших экстремумов: f '(x ) не определено при x = 0 из-за 48 / x ^ 2. Следовательно, это одна из наших крайностей. Далее мы решаем за др Подробнее »

Функция не имеет глобальных экстремумов. Он имеет локальный максимум f ((- 4-sqrt31) / 3) = (308 + 62sqrt31) / 27 и локальный минимум f ((- - 4 + sqrt31) / 3) = (308-62sqrt31) / 27 для f (x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 - 5x, lim_ (xrarr-oo) f (x) = - oo, поэтому f не имеет глобального минимума. lim_ (xrarroo) f (x) = oo, поэтому f не имеет глобального максимума. f '(x) = 3x ^ 2 + 8x-5 никогда не бывает неопределенным и равно 0 при x = (- 4 + -sqrt31) / 3 Для чисел, далеких от 0 (как положительных, так и отрицательных), f' (x) положительна , Для чисел в ((-4-sqrt31) / 3, (- 4 + sqrt31) / 3) 3f '(x) отрицательно. Знак f  Подробнее »

Локальные экстремумы: x = -1/3 и x = 1 Глобальные экстремумы: x = + - infty Локальные экстремумы, также называемые максимумами и минимумами, или иногда критическими точками, представляют собой то, на что они похожи: когда функция достигла краткого максимума или краткий минимум. Их называют локальными, потому что, когда вы ищете критические точки, вы обычно заботитесь только о том, что означает максимум в непосредственной близости от точки. Найти локальные критические точки довольно просто. Найти, когда функция неизменна, а функция неизменна, когда - как вы уже догадались - производная равна нулю. Простое применение степенн Подробнее »

Чтобы получить горизонтальные асимптоты, вы должны вычислить два предела дважды. Ваша асимптота представлена в виде строки f (x) = ax + b, где a = lim_ (x-> infty) f (x) / xb = lim_ (x-> infty) f (x) -ax И те же ограничения должны быть рассчитанным в отрицательной бесконечности, чтобы получить соответствующий результат. Если нужно больше объяснений - пишите в комментариях. Я бы добавил пример позже. Подробнее »

В (2, -9) есть минимумы. Дано - y = x ^ 2-4x-5 Найти первые две производные dy / dx = 2x-4 Максимумы и минимумы определяются по второй производной. (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 dy / dx = 0 => 2x-4 = 0 2x = 4 x = 4/2 = 2 В x = 2; y = 2 ^ 2-4 (2) -5 y = 4-8-5 y = 4-13 = -9 Поскольку вторая производная больше единицы. В (2, -9) есть минимумы. Подробнее »

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x имеет локальный минимум для x = 1 и локальный максимум для x = 3. Имеем: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x Функция определяется во всех RR как x ^ 2 + 3> 0 AA x Мы можем определить критические точки, найдя, где первая производная равна нулю: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1, поэтому критические точки: x_1 = 1 и x_2 = 3 Поскольку знаменатель всегда положительный, знак f '(x) противоположен знаку числитель (x ^ 2-4x + 3) Теперь мы знаем, что многочлен второго порядка с положительным Подробнее »

Пожалуйста, смотрите объяснение ниже. Функция f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 Частные производные (delf) / (delx) = 2x + y + 3 (delf) / (dely) = 2y + x-3 Пусть (delf) / (delx) = 0 и (delf) / (dely) = 0 Тогда {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} =>, {(x = -3), (y = 3):} (del ^ 2f) / (del ^ 2f) = 2 (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 Гессенская матрица имеет вид Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) Определитель D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | = 4-1 = 3> 0 Следовательно, н Подробнее »

Локальный максимум 80 (при x = -1) и локальный минимум -80 (при x = 1. F (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Критическими числами являются: -1, 0 и 1. Знак f меняется с + на - при прохождении x = -1, поэтому f (-1) = 80 - локальный максимум. . (Поскольку f нечетно, мы можем сразу заключить, что f (1) = - 80 является относительным минимумом, а f (0) не является локальным экстремумом.) Знак f 'не меняется при прохождении x = 0, таким образом, f (0) не является локальным экстремумом. Знак f 'изменяется с - на +, когда мы передаем x = 1, поэтому f (1) = -80 является локальн Подробнее »

Локальный максимум 13 в 1 и локальный минимум 0 в 0. Домен f равен RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 при x = -1, а f' (x) не существует при x = 0. Оба -1 и 9 находятся в области f, поэтому они оба являются критическими числами. Тест первой производной: On (-oo, -1), f '(x)> 0 (например, при x = -2 ^ 15) On (-1,0), f' (x) <0 (например, при x = -1 / 2 ^ 15) Следовательно, f (-1) = 13 является локальным максимумом. На (0, oo), f '(x)> 0 (используйте любой большой положительный x), поэтому f (0) = 0 является локальным минимумом. Подробнее »

Нет ли локальных экстремумов в RR ^ n для f (x) Сначала нам нужно взять производную от f (x). dy / dx = 2d / dx [x ^ 3] -3d / dx [x ^ 2] + 7d / dx [x] -0 = 6x ^ 2-6x + 7 Итак, f '(x) = 6x ^ 2- 6x + 7 Чтобы решить для локальных экстремумов, мы должны установить производную в 0 6x ^ 2-6x + 7 = 0 x = (6 + -sqrt (6 ^ 2-168)) / 12 Теперь мы достигли проблема. Дело в том, что x inCC, поэтому локальные экстремумы сложны. Это то, что происходит, когда мы начинаем в кубических выражениях, это то, что сложные нули могут произойти в первом производном тесте. В этом случае в RR ^ n нет локальных экстремумов для f (x). Подробнее »

Максимальное f - это f (5/2) = 69,25. Минимальное f - это f (-3/2) = 11,25. d / dx (f (x)) = - 6x ^ 2 + 12x + 18 = 0, когда x = 5/2 и -3/2. Вторая производная равна -12x + 12 = 12 (1-x) <0 при х = 5/2 и> 0 при х = 3/2. Таким образом, f (5/2) - локальный (для конечного x) максимум, а f (-3/2) - локальный (для конечного x) минимум. Как xto oo, fto -oo и как xto-oo, fto + oo .. Подробнее »

Локальный максимум в точке x = -2, локальный минимум в точке x = 4 f (x) = 2x ^ 3 - 6x ^ 2 - 48x + 24 f '(x) = 6x ^ 2 - 12x - 48 = 6 (x ^ 2 - 2x - 8) = 6 (x-4) (x + 2) подразумевает f '= 0, когда x = -2, 4 f' '= 12 (x - 1) f' '(- 2) = -36 <0, т.е. max f '' (4) = 36> 0, т. е. min глобальное max min определяется доминирующим термином x ^ 3, поэтому lim_ {x to pm oo} f (x) = pm oo должно выглядеть так: Подробнее »

X = {- 3,0,3} Локальные экстремумы возникают всякий раз, когда наклон равен 0, поэтому мы должны сначала найти производную функции, установить ее равной 0, а затем решить для x найти все x, для которых есть локальные экстремумы. Используя правило выключения питания, мы можем найти, что f '(x) = 8x ^ 3-72x. Теперь установите его равным 0. 8x ^ 3-72x = 0. Чтобы решить, выделите 8x, чтобы получить 8x (x ^ 2-9) = 0, затем, используя правило разности двух квадратов, разделите x ^ 2-9 на два фактора, чтобы получить 8x (x + 3) (x- 3) = 0. Теперь установите каждый из них по отдельности равным 0, потому что все выражение будет Подробнее »

Единственный экстремум - x = 0,90322 ..., минимум функции. Но вам нужно решить кубическое уравнение, и ответ совсем не «хороший» - вы уверены, что вопрос введен правильно? Я также включил предложения о том, как подойти к ответу, не вдаваясь в объем анализа, показанный полностью ниже. 1. Стандартный подход указывает нам трудоемкое направление. Сначала вычислите производную: f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x, т. Е. (По цепочечным и частным правилам) f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 Затем установите это значение равным 0 и решите для x: 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 8x ^ 3-6 Подробнее »

F (x) = a (x-2) (x-3) (xb) Локальные экстремумы подчиняются (df) / dx = a (6 + 5 b - 2 (5 + b) x + 3 x ^ 2) = 0 Теперь, если ne 0, мы имеем x = 1/3 (5 + b pm sqrt [7 - 5 b + b ^ 2]), но 7 - 5 b + b ^ 2 gt 0 (имеет сложные корни), поэтому f ( х) всегда имеет локальный минимум и локальный максимум. Предположим, что ne 0 Подробнее »

Существует локальный минимум 0 в 1. (который также является глобальным.) И локальный максимум 4 / e ^ 2 в e ^ 2. Для f (x) = (lnx) ^ 2 / x, заметьте сначала, что область f является положительными действительными числами (0, oo). Затем найдите f '(x) = ([2 (lnx) (1 / x)] * x - (lnx) ^ 2 [1]) / x ^ 2 = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2. f 'не определено при x = 0, который не находится в области f, поэтому он не является критическим числом для f. f '(x) = 0, где lnx = 0 или 2-lnx = 0 x = 1 или x = e ^ 2 Проверьте интервалы (0,1), (1, e ^ 2) и (e ^ 2, oo ). (Для тестовых чисел я предлагаю e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 - вспомните 1 = e Подробнее »