Ответ:
# {: («Критическая точка», «Заключение»), ((0,0,0), «седло»):} #
Объяснение:
Теория для выявления экстремумов
- Решить одновременно критические уравнения
# (частичное f) / (частичное x) = (частичное f) / (частичное y) = 0 # (т.е.# F_x = f_y = 0 # ) - оценивать
#f_ (x x), f_ (yy) и f_ (xy) (= f_ (yx)) # в каждой из этих критических точек. Следовательно, оцените# Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # в каждой из этих точек - Определить природу экстремумов;
# {: (Delta> 0, "Существует минимум, если" f_ (xx) <0), (, "и максимум, если" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "существует седловая точка"), (Delta = 0, «Необходим дальнейший анализ»):} #
Итак, мы имеем:
# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #
# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #
Найдем первые частные производные:
# (частичное f) / (частичное x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #
# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #
# (частичное f) / (частичное y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #
# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #
Итак, наши критические уравнения:
# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - е ^ (х ^ 2)) = 0 #
# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - е ^ (х ^ 2)) = 0 #
Из этих уравнений имеем:
# y = 0 # или же# e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #
# x = 0 # или же# e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #
И единственное одновременное решение
И так у нас есть один критическая точка в начале координат
Итак, теперь давайте посмотрим на вторые частные производные, чтобы мы могли определить природу критической точки (я просто приведу эти результаты):
# (частично ^ 2f) / (частично x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #
# (частично ^ 2f) / (частично y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #
# (частично ^ 2f) / (частично x частично y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (частичная ^ 2f) / (частичная y частичная x)) #
И мы должны рассчитать:
# Дельта = (частичное ^ 2f) / (частичное x ^ 2) (частичное ^ 2f) / (частичное y ^ 2) - ((частичное ^ 2f) / (частичное x частичное y)) ^ 2 #
в каждой критической точке. Значения второй частной производной,
# {: ("Критическая точка", (частичная ^ 2f) / (частичная x ^ 2), (частичная ^ 2f) / (частичная y ^ 2), (частичная ^ 2f) / (частичная x частичная y), дельта, «Заключение»), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, «включительно»):} #
Поэтому после всей этой работы довольно обидно получать инклюзивный результат, но если мы исследуем поведение вокруг критической точки, мы можем легко установить, что это седловая точка.
Мы можем увидеть эти критические точки, если мы посмотрим на 3D-график:
Каковы экстремумы и седловые точки f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Область определения: f (x) = 2x ^ 2lnx - это интервал x в (0, + oo). Оцените первую и вторую производные функции: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Критическими точками являются решения: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 и при x> 0: 1 + 2 lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) В этой точке: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, поэтому критической точкой является локальный минимум. Седловые точки являются решениями: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6, и так как f '' (x) монотонно возрастает, мы можем
Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?
Эта функция не имеет стационарных точек (вы уверены, что f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x - это та, которую вы хотели изучить ?!). Согласно наиболее распространенному определению седловых точек (стационарных точек, которые не являются экстремумами), вы ищете стационарные точки функции в ее области D = (x, y) в RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , у) в RR ^ 2}. Теперь мы можем переписать выражение, заданное для f, следующим образом: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x. Способ их идентификации заключается в поиске точек, которые сводят на нет градиент f, который является вектором частных производных: nabla f = ((del f
Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
{: («Критическая точка», «Заключение»), ((0,0), «мин»), ((-1, -2), «седло»), ((-1,2), «седло» ), ((-5 / 3,0), "max"):} Теория для определения экстремумов z = f (x, y): Решить одновременно критические уравнения (частичное f) / (частичное x) = (частичное f) / (частичное y) = 0 (т. е. z_x = z_y = 0) Оцените f_ (xx), f_ (yy) и f_ (xy) (= f_ (yx)) в каждой из этих критических точек , Следовательно, оцените Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 в каждой из этих точек. Определите природу экстремумов; {: (Delta> 0, «Существует минимум, если» f_ (xx) <0),