Каковы экстремумы и седловые точки f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Область определения:

#f (x) = 2x ^ 2lnx #

интервал #x in (0, + oo) #.

Оцените первую и вторую производные функции:

# (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) #

# (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2 lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4 lnx + 4 = 6 + lnx #

Критические точки являются решениями:

#f '(x) = 0 #

# 2x (1 + 2lnx) = 0 #

и в качестве #x> 0 #:

# 1 + 2lnx = 0 #

#lnx = -1 / 2 #

#x = 1 / sqrt (e) #

В этом пункте:

#f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 #

поэтому критической точкой является локальный минимум.

Седловые точки являются решениями:

#f '' (x) = 0 #

# 6 + lnx = 0 #

#lnx = -6 #

# x = 1 / e ^ 6 #

и в качестве #f '' (х) # монотонно увеличивается, мы можем сделать вывод, что #f (х) # вогнутый вниз для #x <1 / e ^ 6 # и вогнутый для #x> 1 / e ^ 6 #

график {2x ^ 2lnx -0,2943, 0,9557, -0,4625, 0,1625}