Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
Anonim

Ответ:

# {: («Критическая точка», «Заключение»), ((0,0), «мин»), ((-1, -2), «седло»), ((-1,2), «седло» "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Объяснение:

Теория для выявления экстремумов # Г = Р (х, у) # является:

  1. Решить одновременно критические уравнения

    # (частичное f) / (частичное x) = (частичное f) / (частичное y) = 0 # (т.е. # Z_x = z_y = 0 #)

  2. оценивать #f_ (x x), f_ (yy) и f_ (xy) (= f_ (yx)) # в каждой из этих критических точек. Следовательно, оцените # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # в каждой из этих точек
  3. Определить природу экстремумов;

    # {: (Delta> 0, "Существует минимум, если" f_ (xx) <0), (, "и максимум, если" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "существует седловая точка"), (Delta = 0, «Необходим дальнейший анализ»):} #

Итак, мы имеем:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Найдем первые частные производные:

# (частичное f) / (частичное x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (частичное f) / (частичное y) = 2xy + 2y #

Итак, наши критические уравнения:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Из второго уравнения имеем:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

подписка # х = -1 # в первое уравнение, и мы получаем:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

подписка # У = 0 # в первое уравнение, и мы получаем:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

И так у нас есть четыре критические точки с координатами;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Итак, теперь давайте посмотрим на вторые частные производные, чтобы мы могли определить природу критических точек:

# (частичное ^ 2f) / (частичное x ^ 2) = 12x + 10 #

# (частично ^ 2f) / (частично y ^ 2) = 2x + 2 #

# (частичное ^ 2f) / (частичное x частичное y) = 2y (= (частичное ^ 2f) / (частичное y частичное x)) #

И мы должны рассчитать:

# Дельта = (частичное ^ 2f) / (частичное x ^ 2) (частичное ^ 2f) / (частичное y ^ 2) - ((частичное ^ 2f) / (частичное x частичное y)) ^ 2 #

в каждой критической точке. Значения второй частной производной, # Delta #и заключение таковы:

# {: ("Критическая точка", (частичная ^ 2f) / (частичная x ^ 2), (частичная ^ 2f) / (частичная y ^ 2), (частичная ^ 2f) / (частичная x частичная y), дельта, «Заключение»), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => «мин»), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, «седло»), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, «седло»), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Мы можем увидеть эти критические точки, если мы посмотрим на 3D-график:

Исчисление
Выбор редактора