Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Ответ:

Эта функция имеет нет стационарных точек (ты уверен что #f (х, у) = 2x ^ 2 + (х-у) ^ 2 + 5x ^ 2-у / х # это тот, который вы хотели учиться ?!).

Объяснение:

Согласно наиболее распространенному определению седловые точки (стационарные точки, которые не являются экстремальными), вы ищете стационарные точки функции в ее области # D = x ne 0 = RR ^ 2 setminus {(0, y) в RR ^ 2} #.

Теперь мы можем переписать выражение, данное для # Е # следующим образом: #f (х, у) = 7x ^ 2 + х ^ 2у ^ 2y / х #

Способ идентифицировать их состоит в том, чтобы искать точки, которые сводят на нет градиент # Е #, который является вектором частных производных:

#nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) #

Поскольку домен является открытым множеством, нам не нужно искать экстремумы, в конечном итоге лежащие на границе, потому что открытые множества не содержат граничных точек.

Итак, давайте вычислим градиент функции:

#nabla f (x, y) = (14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2,2x ^ 2y-1 / x) #

Это ноль, когда следующие уравнения выполняются одновременно:

# 14x + 2х ^ 2 + у / х ^ 2 = 0 #

# 2x ^ 2y = 1 / х #

Мы можем превратить второй в # У = 1 / (2x ^ 3) # и подставьте его первым, чтобы получить

# 14x + 2х (1 / (2x ^ 3)) ^ 2+ (1 / (2x ^ 3)) / х ^ 2 = 0 #

# 14x + 1 / (2x ^ 5) + 1 / (2x ^ 5) = 0 #

# 14x ^ 6 + 1 = 0 #

Это не может быть удовлетворено для #x в RR #, поэтому градиент никогда не будет нулевым в домене. Это означает, что функция не имеет стационарных точек!