Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Ответ:

Седловая точка в начале координат.

Объяснение:

У нас есть:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

И поэтому мы выводим частные производные. Помните, что при частичном дифференцировании мы дифференцируем по рассматриваемой переменной, рассматривая другие переменные как константу. Так что:

# (частичное f) / (частичное x) = 2xy-y ^ 2 # а также # (частичное f) / (частичное y) = x ^ 2-2yx #

В экстремальных или седловых точках имеем:

# (частичное f) / (частичное x) = 0 # а также # (частичное f) / (частичное y) = 0 # одновременно:

то есть одновременное решение:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Следовательно, есть только одна критическая точка в начале координат #(0,0)#, Чтобы установить природу критической точки, требуются аналитики многопеременной серии Тейлора и следующие результаты испытаний:

# Дельта = (частичное ^ 2 f) / (частичное x ^ 2) (частичное ^ 2 f) / (частичное y ^ 2) - {(частичное ^ 2 f) / (частичное x частичное y)} ^ 2 <0 => # точка перевала

Итак, мы вычисляем вторые частные производные:

# (частично ^ 2f) / (частично x ^ 2) = 2y #;# (частично ^ 2f) / (частично y ^ 2) = -2x # а также # (частичное ^ 2 f) / (частичное x частичное y) = 2x-2y #

И так когда # x = 0, y = 0 # мы получаем:

# Дельта = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Это означает, что стандартное седловое испытание является инклюзивным и требуется дополнительный анализ. (Это, как правило, включает в себя рассмотрение признаков функции через различные срезы или просмотр третьего теста с частной производной, который выходит за рамки этого вопроса!).

Мы также можем посмотреть на трехмерный график и сделать быстрый вывод, что критическая точка, по-видимому, соответствует седловой точке: