Ответ:
Пожалуйста, смотрите объяснение ниже
Объяснение:
Функция
#f (х, у) = х ^ 2 + х + у ^ 2 + 3й-3y +-#
Частные производные
# (DELF) / (delx) = 2x + у + 3 #
# (DELF) / (Dely) = 2y + X-3 #
Позволять # (DELF) / (delx) = 0 # а также # (DELF) / (Dely) = 0 #
Затем, # {(2x + у + 3 = 0), (2у + х-3 = 0):} #
#=>#, # {(Х = -3), (у = 3):} #
# (Дель ^ 2е) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Дель ^ 2е) / (делы ^ 2) = 2 #
# (Дель ^ 2е) / (delxdely) = 1 #
# (Дель ^ 2е) / (delydelx) = 1 #
Гессенская матрица
#Hf (х, у) = (((дель ^ 2f) / (delx ^ 2), (удал ^ 2f) / (delxdely)), ((дель ^ 2f) / (delydelx), (дель ^ 2f) / (делы ^ 2))) #
Определитель
#D (х, у) = Det (Н (х, у)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Следовательно, Седловых точек нет.
#D (1,1)> 0 # а также # (Дель ^ 2е) / (delx ^ 2)> 0 #есть локальный минимум на #(-3,3)#
Ответ:
Местный минимум: #(-3,3)#
Объяснение:
Группа точек, включающая как экстремумы, так и седловые точки, обнаруживается, когда оба # (DELF) / (delx) (х, у) # а также # (DELF) / (Dely) (х, у) # равны нулю.
Если предположить, #Икс# а также # У # являются независимыми переменными:
# (DELF) / (delx) (х, у) = 2x + у + 3 #
# (DELF) / (Dely) (х, у) = х + 2y-3 #
Итак, у нас есть два уравнения одновременно, которые, к счастью, являются линейными:
# 2x + у + 3 = 0 #
# Х + 2y-3 = 0 #
От первой:
# У = -2x-3 #
Подставим во второе:
# х + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# х-4х-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# х = -3 #
Подставим обратно в первое:
# 2 (-3) + у + 3 = 0 #
# -6 + у + 3 = 0 #
# -3 + у = 0 #
# У = 3 #
Таким образом, есть одна точка, где первые производные равномерно становятся равными нулю, либо экстремум, либо седло, в # (Х, у) = (- 3,3) #.
Чтобы определить, какой из них мы должны вычислить матрицу вторых производных, матрицу Гессиана (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((Дель ^ 2е) / (delx ^ 2), (дель ^ 2е) / (delxdely)), ((дель ^ 2е) / (delydelx), (дель ^ 2е) / (делы ^ 2))) #
# (Дель ^ 2е) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Дель ^ 2е) / (delxdely) = 1 #
# (Дель ^ 2е) / (delydelx) = 1 #
# (Дель ^ 2е) / (делы ^ 2) = 2 #
таким образом
# (((Дель ^ 2е) / (delx ^ 2), (дель ^ 2е) / (delxdely)), ((дель ^ 2е) / (delydelx), (дель ^ 2е) / (делы ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Все производные второго порядка равномерно постоянны независимо от значений #Икс# а также # У #Таким образом, нам не нужно специально вычислять значения для интересующей точки.
NB. Порядок дифференцирования не имеет значения для функций с непрерывными вторыми производными (теорема Клеро, приложение здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), и поэтому мы ожидаем, что # (Дель ^ 2е) / (delxdely) = (дель ^ 2е) / (delydelx) #, как мы видим в нашем конкретном результате выше.
В этом случае с двумя переменными мы можем вывести тип точки из определителя гессиана, # (Дель ^ 2f) / (delx ^ 2) (дель ^ 2f) / (Dely ^ 2) - (дель ^ 2f) / (delxdely) (дель ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Форма теста для администрирования приведена здесь:
Мы видим, что определитель #>0#и так # (Дель ^ 2е) / (delx ^ 2) #, Итак, мы заключаем, что #(-3,3)#Единственная точка нулевой первой производной является локальным минимумом функции.
В качестве проверки здравого смысла для вопроса об одномерной функции я обычно публикую его график, но, насколько я вижу, у Socratic нет средства для построения поверхности или контура, подходящего для двумерных функций. Так что я буду пересекать две функции #f (-3, у) # а также #f (х, 3) #, которые не характеризуют всю область функции для нас, но покажут нам минимум между ними, который, как и ожидалось, # У = 3 # а также # х = -3 #, принимая одинаковое значение функции # F = -5 # в каждом случае.
Как #f (х, у) = х ^ 2 + х + у ^ 2 + 3й-3y +-#
#f (-3, у) = у ^ 2-6y + 4 #
#f (х, 3) = х ^ 2 + 6x + 4 #
graph {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
