Каковы глобальные и локальные экстремумы f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Ответ:

#f (х) # имеет абсолютный минимум на #(-1. 0)#

#f (х) # имеет локальный максимум на # (- 3, 4e ^ -3) #

Объяснение:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Правило продукта

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Для абсолютных или локальных экстремумов: #f '(x) = 0 #

Вот где: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

поскольку # e ^ x> 0 за x в RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 или -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Правило продукта

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Опять же, так как # Е ^ х> 0 # нам нужно только проверить знак # (Х ^ 2 + 6x + 7) #

в наших точках экстремумов, чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # это минимум

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # это максимум

Учитывая график #f (х) # ниже видно, что #f (-3) # это локальный максимум и #f (-1) # это абсолютный минимум.

график {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5,788, 2,005, -0,658, 3,24}

Наконец, оценивая точки экстремума:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

а также

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0,199 #