Каковы экстремумы f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 на [-oo, oo]?

Ответ:

#f (х) # имеет минимум на # Х = 2 #

Объяснение:

Прежде чем продолжить, обратите внимание, что это парабола, обращенная вверх, то есть мы можем без дальнейших вычислений знать, что у нее не будет максимумов и единственного минимума в ее вершине. Завершение квадрата покажет нам, что #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, давая вершину и, следовательно, единственный минимум, в #x = 2 #, Давайте посмотрим, как это будет сделано с исчислением, хотя.

Любые экстремумы будут возникать либо в критической точке, либо в конечной точке данного интервала. Как наш интервал # (- оо, оо) # открыто, мы можем игнорировать возможность конечных точек, и поэтому мы сначала определим критические точки функции, то есть точку, в которой производная функции #0# или не существует.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Установка этого равного #0#мы находим критическую точку в # Х = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Теперь мы можем либо проверить, является ли это экстремум (и какой тип), проверив некоторые значения # Е # вокруг этой точки, или с помощью второго производного теста. Давайте использовать последний.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Как #f '' (2) = 6> 0 #второй производный тест говорит нам, что #f (х) # имеет локальный минимум в # Х = 2 #

Таким образом, используя #f '(х) # а также #f '' (х) #мы находим, что #f (х) # имеет минимум на # Х = 2 #, сопоставляя результат, который мы нашли с помощью алгебры.