Каковы локальные экстремумы, если таковые имеются, f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

Ответ:

Единственный экстремум # Х = 0,90322 … #, минимум функции

Но вам нужно решить кубическое уравнение, чтобы получить ответ, и ответ совсем не «хороший» - вы уверены, что вопрос введен правильно? Я также включил предложения о том, как подойти к ответу, не вдаваясь в объем анализа, показанный полностью ниже.

Объяснение:

1. Стандартный подход указывает нам трудоемкое направление

Сначала рассчитаем производную:

#f (х) = (4x-3) ^ 2- (х-4) / х #

так (по цепочке и частным правилам)

#f '(х) = 4 * 2 (4x-3) - (х- (х-4)) / х ^ 2 = 32x-24-4 / х ^ 2 #

Затем установите это равным 0 и решить для #Икс#:

# 32x-24-4 / х ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

У нас есть кубическое уравнение, которое разрешимо радикалами, но это далеко не простой процесс. Мы знаем, что это уравнение, как правило, будет иметь три корня, но не то, что они все будут действительными, хотя, по крайней мере, один из них будет - что, по крайней мере, один из них будет известен из теоремы о промежуточном значении - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - что говорит нам о том, что поскольку функция уходит в бесконечность на одном конце и минус бесконечность на другом, то она должна принимать все значения между ними в той или иной точке.

Испытывая несколько простых значений (1 часто является информативным и быстрым, чтобы попробовать), мы видим, что есть корень где-то между 1/2 и 1, но мы не находим никаких очевидных решений для упрощения уравнения с. Решение кубического уравнения - это длительный и утомительный процесс (который мы сделаем ниже), поэтому стоит попытаться проинформировать свою интуицию, прежде чем сделать это. Испытывая решения дальше, мы находим, что это между 0,9 и 0,91.

2. Решить упрощенную задачу

Функция состоит из разности двух членов, # F_1 (х) = (4x-3) ^ 2 # а также # F_2 (х) = (х-4) / х #, Для большей части диапазона #Икс#первый из них будет доминировать, так как второй член будет близок к 1 для всех значений #Икс# от небольших ценностей. Давайте спросим, как ведут себя два отдельных термина.

Первый срок, # F_1 #

# F_1 (х) = (4x-3) ^ 2 #

# F_1 ^ '(х) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Установите это равным нулю: # Х = 3/4 #, Это находится в области нуля функции, которую мы нашли, но это не очень близко к ней.

#f (1) # это парабола в #Икс#тот, который касается #Икс# ось в # Х = 3/4 #, Его производная - это крутая прямая линия градиента 32, которая пересекает ось X в той же точке.

Второй срок, # F_2 #

# F_2 (х) = (х-4) / х = 1-4 / х #

# F_2 ^ '(х) = 4 / х ^ 2 #

Установите это равным нулю: нет решений в #Икс#, Так # F_2 # не имеет экстремумов как функция сама по себе. Однако у него есть точка, в которой он взрывается до бесконечности: # Х = 0 #, Он стремится к положительной бесконечности, когда приближается к 0 с отрицательной стороны, и к отрицательной бесконечности, когда приближается к 0 с положительной стороны. Вдали от этой точки кривая стремится к значению 1 с обеих сторон. # F_2 # это гипербола с центром # (Х, у) = (0,1) #, Его производная представляет собой кривую из двух частей, для отрицательного и положительного #Икс#, Это идет к положительной бесконечности с обоих направлений в # Х = 0 # и всегда позитивно

Обратите внимание, что # F_1 ^ '(х) <0 # для всех #x <0 #, Там не может быть пересечений # F_1 ^ # а также # F_2 ^ # на негативе #Икс# ось. За положительный #Икс# ось должно быть ровно одно пересечение - одна кривая идет от менее 0 до бесконечности, как #Икс# делает то же самое, в то время как другой переходит из бесконечности в 0. При применении теоремы о промежуточном значении (см. выше) они должны пересекаться ровно один раз.

Так что теперь мы уверены, что ищем только одно решение, но у нас нет на это хорошего ответа.

3. Численно приблизительный ответ

В профессиональных ситуациях, требующих решения подобных проблем, часто самый быстрый способ добраться туда, куда вам нужно, это выполнить числовое приближение. Очень хорошим методом поиска корней функции является метод Ньютона-Рафсона (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Который: найти корень функции # Е #сначала догадайся # X_0 # в корне, а затем итерации по кругу в соответствии с этой формулой:

# X_1 = x_0-F (x_0) / (F '(x_0)) #

# X_1 # это лучшее предположение, чем # X_0 #, и каждый просто повторяет это, пока не будет достигнута желаемая точность.

Напомним нашу функцию и ее производную:

#f (х) = (4x-3) ^ 2- (х-4) / х #

#f '(х) = 8 (4x-3) -4 / х ^ 2 #

Таким образом, мы можем угадать 0,5 как наш корень, делая # X_0 = 0,5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #, таким образом # F_1 = 0,5 + 8/24 = 0,5 + 1/3 = 0,8333 …. #действительно более близкий ответ. Повторение приводит нас к значению приблизительно 0,9, указанному выше.

Таким образом, мы можем найти ответ с произвольной точностью, но полный ответ требует аналитического решения, что-то, что мы отметили выше, будет трудным. Итак, поехали …

4. Решите полную проблему, медленно и мучительно

Теперь давайте сделаем полное кубическое решение (вам нужно любить алгебру, чтобы решить это правильно):

Во-первых, разделите, чтобы главный термин имел коэффициент 1:

# 8х ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

Во-вторых, сделайте следующую замену переменной # У # удалить # Х ^ 2 # срок:

Замена # Х = у + 1/4 #, В более общем смысле для уравнения вида # Ах ^ 3 + Ьх ^ 2 + Сх + D = 0 #один заменит # Х = у-Ь / (3а) #, Если вы проработаете алгебру, вы увидите, что это всегда вызывает # Х ^ 2 # срок исчезнуть. В этом случае мы получаем:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Разверните скобки, помня теорему о биномиальном виде:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(Обратите внимание, что два # У ^ 2 # сроки точно отменяются)

# У ^ 3-3 / 16Y = 5/32 #

Теперь у нас такое же количество терминов, как и раньше, потому что раньше у нас не было # У # срок. Потерять # У ^ 2 # срок - математическая прибыль, обещай!

В-третьих, сделайте еще одну замену (замена Виеты: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html), чтобы превратить это в квадратичное:

Замена # У = W + 1 / (16w) #, В более общем смысле для уравнения вида # У ^ 3 + р = д #эта замена # У = п-р / (3w) #.

# У ^ 3-3 / 16Y = 5/32 #

# (W + 1 / (16w)) ^ 3-3 / 16 (ш + 1 / (16W)) = 5/32 #

# Ш ^ 3 + 3 / 16W + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16w-3 / 256w = 5/32 #

(Обратите внимание, что оба # Ш # а также # 1 / ш # сроки точно отменили)

# Ш ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# Ш ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Теперь вы можете спросить, в чем заключается польза от этого - мы возились с нашим уравнением степени 3 до тех пор, пока не получим уравнение степени 6, что, безусловно, потеря … Но теперь мы можем думать о нем как о квадратном уравнении в # Ш ^ 3 #, и мы можем решить квадратные уравнения …)

В-четвертых, решить квадратное уравнение для # Ш ^ 3 #

# Ш ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (Ш ^ 3) ^ 2-5 / 32 (ш ^ 3) + 1/4096 = 0 #

Используя квадратное уравнение:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -кврт (24/1024)) / 2 = (5/32 + -кврт (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -кврт (24)) / 64 = (5 + -2кврт (6)) / 64 #

У нас есть ответ! Теперь нам просто нужно связать его обратно с нашей исходной переменной #Икс#.

В-пятых, вернемся к нашим первоначальным условиям

# w ^ 3 = (5 + -2крт (6)) / 64 #

Возьмите корень куба:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Напомним, как мы связаны # У # в # Ш # ранее: # У = W + 1 / (16w) #

#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Сейчас # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Сократик, кажется, не предлагает минус-плюс противоположность плюс-минус, поэтому мы должны написать это так)

таким образом

#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Если мы умножим знаки минус во втором большом члене, мы увидим, что мы получаем два одинаковых выражения, поэтому мы можем отбросить квадратные знаки плюс / минус и упростить до

# У = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Напоследок (!) Вспомним, что мы установили # Х = у + 1/4 #.

таким образом

# Х = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

В-шестых, определите, насколько эти корни реальны.

Каждое из двух выражений в корнях куба имеет один действительный корень и два сопряженных мнимых корня. Реальное число # A # имеет три кубических корня # А ^ (1/3) #, # А ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# А ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #, Теперь мы знаем, что оба выражения внутри корней куба положительны (обратите внимание, # 5 = SQRT (25)> SQRT (24) = 2sqrt (6) #) и так мнимые составляющие во втором и третьем значениях для #Икс# не может суммировать до нуля.

Заключение

Поэтому существует только один настоящий корень для #Икс# (как мы пришли к выводу, что более простой анализ сделан намного выше), и, следовательно, только один локальный экстремум на кривой, о которой вы спрашиваете, определяется выражением

# Х = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

или в десятичном виде

# Х = 0,90322 … #

Мы можем сделать вывод, что это минимум функции, так как существует только один экстремум, и функция стремится к положительной бесконечности на обоих концах.