Ответ:
Единственный экстремум
Но вам нужно решить кубическое уравнение, чтобы получить ответ, и ответ совсем не «хороший» - вы уверены, что вопрос введен правильно? Я также включил предложения о том, как подойти к ответу, не вдаваясь в объем анализа, показанный полностью ниже.
Объяснение:
1. Стандартный подход указывает нам трудоемкое направление
Сначала рассчитаем производную:
так (по цепочке и частным правилам)
Затем установите это равным 0 и решить для
У нас есть кубическое уравнение, которое разрешимо радикалами, но это далеко не простой процесс. Мы знаем, что это уравнение, как правило, будет иметь три корня, но не то, что они все будут действительными, хотя, по крайней мере, один из них будет - что, по крайней мере, один из них будет известен из теоремы о промежуточном значении - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - что говорит нам о том, что поскольку функция уходит в бесконечность на одном конце и минус бесконечность на другом, то она должна принимать все значения между ними в той или иной точке.
Испытывая несколько простых значений (1 часто является информативным и быстрым, чтобы попробовать), мы видим, что есть корень где-то между 1/2 и 1, но мы не находим никаких очевидных решений для упрощения уравнения с. Решение кубического уравнения - это длительный и утомительный процесс (который мы сделаем ниже), поэтому стоит попытаться проинформировать свою интуицию, прежде чем сделать это. Испытывая решения дальше, мы находим, что это между 0,9 и 0,91.
2. Решить упрощенную задачу
Функция состоит из разности двух членов,
Первый срок,
Установите это равным нулю:
Второй срок,
Установите это равным нулю: нет решений в
Обратите внимание, что
Так что теперь мы уверены, что ищем только одно решение, но у нас нет на это хорошего ответа.
3. Численно приблизительный ответ
В профессиональных ситуациях, требующих решения подобных проблем, часто самый быстрый способ добраться туда, куда вам нужно, это выполнить числовое приближение. Очень хорошим методом поиска корней функции является метод Ньютона-Рафсона (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).
Который: найти корень функции
Напомним нашу функцию и ее производную:
Таким образом, мы можем угадать 0,5 как наш корень, делая
Таким образом, мы можем найти ответ с произвольной точностью, но полный ответ требует аналитического решения, что-то, что мы отметили выше, будет трудным. Итак, поехали …
4. Решите полную проблему, медленно и мучительно
Теперь давайте сделаем полное кубическое решение (вам нужно любить алгебру, чтобы решить это правильно):
Во-первых, разделите, чтобы главный термин имел коэффициент 1:
Во-вторых, сделайте следующую замену переменной
Замена
(Разверните скобки, помня теорему о биномиальном виде:
(Обратите внимание, что два
Теперь у нас такое же количество терминов, как и раньше, потому что раньше у нас не было
В-третьих, сделайте еще одну замену (замена Виеты: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html), чтобы превратить это в квадратичное:
Замена
(Обратите внимание, что оба
(Теперь вы можете спросить, в чем заключается польза от этого - мы возились с нашим уравнением степени 3 до тех пор, пока не получим уравнение степени 6, что, безусловно, потеря … Но теперь мы можем думать о нем как о квадратном уравнении в
В-четвертых, решить квадратное уравнение для
Используя квадратное уравнение:
У нас есть ответ! Теперь нам просто нужно связать его обратно с нашей исходной переменной
В-пятых, вернемся к нашим первоначальным условиям
Возьмите корень куба:
Напомним, как мы связаны
Сейчас
(Сократик, кажется, не предлагает минус-плюс противоположность плюс-минус, поэтому мы должны написать это так)
таким образом
Если мы умножим знаки минус во втором большом члене, мы увидим, что мы получаем два одинаковых выражения, поэтому мы можем отбросить квадратные знаки плюс / минус и упростить до
Напоследок (!) Вспомним, что мы установили
таким образом
В-шестых, определите, насколько эти корни реальны.
Каждое из двух выражений в корнях куба имеет один действительный корень и два сопряженных мнимых корня. Реальное число
Заключение
Поэтому существует только один настоящий корень для
или в десятичном виде
Мы можем сделать вывод, что это минимум функции, так как существует только один экстремум, и функция стремится к положительной бесконечности на обоих концах.
Каковы локальные экстремумы, если таковые имеются, f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?
F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x имеет локальный минимум для x = 1 и локальный максимум для x = 3. Имеем: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x Функция определяется во всех RR как x ^ 2 + 3> 0 AA x Мы можем определить критические точки, найдя, где первая производная равна нулю: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1, поэтому критические точки: x_1 = 1 и x_2 = 3 Поскольку знаменатель всегда положительный, знак f '(x) противоположен знаку числитель (x ^ 2-4x + 3) Теперь мы знаем, что многочлен второго порядка с положительным
Каковы локальные экстремумы, если таковые имеются, f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3?
Локальный максимум 80 (при x = -1) и локальный минимум -80 (при x = 1. F (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Критическими числами являются: -1, 0 и 1. Знак f меняется с + на - при прохождении x = -1, поэтому f (-1) = 80 - локальный максимум. . (Поскольку f нечетно, мы можем сразу заключить, что f (1) = - 80 является относительным минимумом, а f (0) не является локальным экстремумом.) Знак f 'не меняется при прохождении x = 0, таким образом, f (0) не является локальным экстремумом. Знак f 'изменяется с - на +, когда мы передаем x = 1, поэтому f (1) = -80 является локальн
Каковы локальные экстремумы, если таковые имеются, f (x) = 2x + 15x ^ (2/15)?
Локальный максимум 13 в 1 и локальный минимум 0 в 0. Домен f равен RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 при x = -1, а f' (x) не существует при x = 0. Оба -1 и 9 находятся в области f, поэтому они оба являются критическими числами. Тест первой производной: On (-oo, -1), f '(x)> 0 (например, при x = -2 ^ 15) On (-1,0), f' (x) <0 (например, при x = -1 / 2 ^ 15) Следовательно, f (-1) = 13 является локальным максимумом. На (0, oo), f '(x)> 0 (используйте любой большой положительный x), поэтому f (0) = 0 является локальным минимумом.