Каковы локальные экстремумы, если таковые имеются, f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Ответ:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # имеет локальный минимум для # Х = 1 # и локальный максимум для # Х = 3 #

Объяснение:

У нас есть:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

функция определена во всех # RR # как # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Мы можем определить критические точки, найдя, где первая производная равна нулю:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

Итак, критические точки:

# x_1 = 1 # а также # x_2 = 3 #

Поскольку знаменатель всегда положительный, знак #f '(х) # является противоположностью знака числителя # (Х ^ 2-4x + 3) #

Теперь мы знаем, что многочлен второго порядка с положительным ведущим коэффициентом является положительным вне интервала, заключенного между корнями, и отрицательным в интервале между корнями, так что:

#f '(x) <0 # за #x in (-oo, 1) # а также #x in (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # за #x в (1,3) #

У нас есть то что #f (х) # уменьшается в # (- ооо, 1) #, увеличиваясь в #(1,3)#и снова уменьшается в # (3, + оо) #, чтобы # x_1 = 1 # должен быть локальным минимумом и # X_2 = 3 # должен быть локальный максимум.

график {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}