Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = xy (1-x-y)?

Ответ:

Точки #(0,0),(1,0)#, а также #(0,1)# седловые точки. Точка #(1/3,1/3)# локальная максимальная точка.

Объяснение:

Мы можем расширить # Е # в #f (х, у) = х-х ^ 2y-ху ^ 2 #, Затем найдите частные производные и установите их равными нулю.

# frac { частичный f} { частичный x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { частичный f} { частичный y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Очевидно, что # (Х, у) = (0,0), (1,0), # а также #(0,1)# решения для этой системы, так же как и критические точки # Е #, Другое решение можно найти из системы # 1-2x-у = 0 #, # 1-х-2у = 0 #, Решение первого уравнения для # У # с точки зрения #Икс# дает # У = 1-2x #, который можно включить во второе уравнение, чтобы получить # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #, Из этого, # У = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # также.

Чтобы проверить природу этих критических точек, мы находим вторые производные:

# frac { частичный ^ {2} f} { частичный x ^ {2}} = - 2 года #, # frac { частичный ^ {2} f} { частичный y ^ {2}} = - 2x #, а также # frac { частичный ^ {2} f} { частичный х частичный y} = frac { частичный ^ {2} f} { частичный y частичный x} = 1-2x-2y #.

Таким образом, дискриминант:

# D = 4xy- (1-2x-2у) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2у-2х + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Подсоединение первых трех критических точек дает:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, а также #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, делая эти точки седловыми.

Подключение к последней критической точке дает #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #, Также обратите внимание, что # frac { частичный ^ {2} f} { частичный x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #, Следовательно, #(1/3,1/3)# является местоположением локального максимального значения # Е #, Вы можете проверить, что само локальное максимальное значение #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Ниже приведено изображение контурной карты (кривых уровня) # Е # (кривые, где выход # Е # постоянный), наряду с 4 критическими точками # Е #.

Каковы экстремумы и седловые точки f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Область определения: f (x) = 2x ^ 2lnx - это интервал x в (0, + oo). Оцените первую и вторую производные функции: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Критическими точками являются решения: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 и при x> 0: 1 + 2 lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) В этой точке: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, поэтому критической точкой является локальный минимум. Седловые точки являются решениями: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6, и так как f '' (x) монотонно возрастает, мы можем

Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Эта функция не имеет стационарных точек (вы уверены, что f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x - это та, которую вы хотели изучить ?!). Согласно наиболее распространенному определению седловых точек (стационарных точек, которые не являются экстремумами), вы ищете стационарные точки функции в ее области D = (x, y) в RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , у) в RR ^ 2}. Теперь мы можем переписать выражение, заданное для f, следующим образом: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x. Способ их идентификации заключается в поиске точек, которые сводят на нет градиент f, который является вектором частных производных: nabla f = ((del f

Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

{: («Критическая точка», «Заключение»), ((0,0), «мин»), ((-1, -2), «седло»), ((-1,2), «седло» ), ((-5 / 3,0), "max"):} Теория для определения экстремумов z = f (x, y): Решить одновременно критические уравнения (частичное f) / (частичное x) = (частичное f) / (частичное y) = 0 (т. е. z_x = z_y = 0) Оцените f_ (xx), f_ (yy) и f_ (xy) (= f_ (yx)) в каждой из этих критических точек , Следовательно, оцените Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 в каждой из этих точек. Определите природу экстремумов; {: (Delta> 0, «Существует минимум, если» f_ (xx) <0),