Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Ответ:

Есть одна крайность в #(3,3,27)#

У нас есть:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

И поэтому мы выводим частные производные:

# (частичное f) / (частичное x) = y - 27 / x ^ 2 # а также # (частичное f) / (частичное y) = x - 27 / y ^ 2 #

В экстремальных или седловых точках имеем:

# (частичное f) / (частичное x) = 0 # а также # (частичное f) / (частичное y) = 0 # одновременно:

то есть одновременное решение:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Вычитание этих уравнений дает:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. х = 0; у = 0; х = у #

Мы можем устранить # x = 0; у = 0 # так что # Х = у # является единственным действительным решением, которое приводит к:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

И с # Х = у = 3 #, у нас есть:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Следовательно, есть только одна критическая точка в точке (3,3,27), которую можно увидеть на этом графике (которая включает касательную плоскость)