У нас есть:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Шаг 2 - Определить критические точки
Критическая точка возникает при одновременном решении
# f_x = f_y = 0 тогда и только тогда (частичный f) / (частичный x) = (частичный f) / (частичный y) = 0 #
т.е. когда:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # одновременно
Из которого мы можем установить:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Таким образом, мы требуем, чтобы:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. х ^ 2 = у ^ 2 #
Тогда у нас есть два (бесконечная плоскость) решения:
#:. х = + - у #
И поэтому мы заключаем, что существует бесконечно много критических точек по всей длине пересечения кривой и двух плоскостей
Шаг 3 - Классификация критических точек
Чтобы классифицировать критические точки, мы проводим тест, аналогичный тесту одного переменного исчисления, используя вторые частные производные и матрицу Гессе.
# Дельта = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((частичное ^ 2 f) / (частичное x ^ 2), (частичное ^ 2 f) / (частичное x частичное y)), ((частичное ^ 2 f) / (частичное y частичное x), (частичное ^ 2 f) / (частично y ^ 2)) | #
# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Тогда в зависимости от значения
# {: (Delta> 0, «Существует максимум, если» f_ (xx) <0), (, »и минимум, если« f_ (xx)> 0), (Delta <0, «есть седловая точка»), (Delta = 0, «Необходим дальнейший анализ»):} #
# Дельта = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 х ^ 2 - 8 у ^ 2 + 4) #
Нам нужно рассмотреть знак
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Итак, в зависимости от знака
Вот сюжет функции
А вот график функции, включая самолеты
