Каковы экстремумы f (x) = 3x-1 / sinx на [pi / 2, (3pi) / 4]?

Ответ:

Абсолютный минимум в области происходит в ок. # (pi / 2, 3.7124) #и абсолютный максимум на области происходит в прибл. # (3pi / 4, 5.6544) #, Здесь нет локальных экстремумов.

Объяснение:

Прежде чем мы начнем, нам следует проанализировать и посмотреть, #sin x # принимает значение #0# в любой точке интервала. #sin x # ноль для всех х таких, что #x = npi #. # Р / 2 # а также # 3PI / 4 # оба меньше #число Пи# и больше чем # 0pi = 0 #; Таким образом, #sin x # не принимает значение ноль здесь.

Чтобы определить это, напомним, что экстремум возникает либо там, где #f '(x) = 0 # (критические точки) или в одной из конечных точек. Имея это в виду, мы берем производную от указанного выше f (x) и находим точки, где эта производная равна 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Как мы должны решить этот последний срок?

Рассмотрим кратко взаимное правило, который был разработан для обработки ситуаций, таких как наш последний срок здесь, # д / (дх) (1 / грех х) #, Взаимное правило позволяет нам напрямую обходить, используя цепочечное или фактор-правило, указав, что данная дифференцируемая функция #G (х) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

когда #g (x)! = 0 #

Возвращаясь к нашему главному уравнению, мы остановились на;

# 3 - д / дх (1 / грех х) #.

поскольку #sin (х) # дифференцируемо, мы можем применить правило взаимности здесь:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Установив это равным 0, мы приходим к:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Это может произойти только тогда, когда #cos x / sin ^ 2 x = -3. #, Отсюда, возможно, следует использовать одно из тригонометрических определений, в частности # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Это напоминает полином, с #cos x # заменяя нашу традиционную х. Таким образом, мы заявляем #cos x = u # а также…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #, Используя квадратную формулу здесь …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Наши корни происходят в #u = (1 + -sqrt37) / 6 # согласно этому. Тем не менее, один из этих корней (# (1 + sqrt37) / 6 #) не может быть корнем для #cos x # потому что корень больше 1, и # -1 <= cosx <= 1 # для всех х. Наш второй корень, с другой стороны, рассчитывается как примерно #-.847127#, Однако это меньше минимального значения #cos x # функция может на интервале (так как #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #, Таким образом, в домене нет критической точки.

Имея это в виду, мы должны вернуться к нашим конечным точкам и поместить их в исходную функцию. Делая так, мы получаем #f (pi / 2) прибл. 3.7124, f (3pi / 4) прибл. 5.6544 #

Таким образом, наш абсолютный минимум на домене составляет примерно # (pi / 2, 3.7124), # и наш максимум примерно # (3pi / 4, 5.6544) #