Каковы абсолютные экстремумы f (x) = x / (x ^ 2 + 25) на интервале [0,9]?

Ответ:

абсолютный максимум: #(5, 1/10)#

абсолютный минимум: #(0, 0)#

Объяснение:

Дано: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "на интервале" 0, 9 #

Абсолютные экстремумы могут быть найдены путем оценки конечных точек и нахождения любых относительных максимумов или минимумов и сравнения их # У #-ценности.

Оценить конечные точки:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~~ (9,.085) #

Найти любые относительные минимумы или максимумы установив #f '(x) = 0 #.

Используйте частное правило: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

Позволять #u = x; "" у '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

поскольку # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #нам нужно только установить числитель = 0

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

критические значения: # x = + - 5 #

Так как наш интервал #0, 9#нам нужно только посмотреть на #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

Используя первый производный тест, установите интервалы, чтобы выяснить, является ли эта точка относительным максимумом или относительным минимумом:

Периодичность: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

тестовые значения: # "" x = 1, "" x = 6 #

#f '(x): "" f' (1)> 0, f '(6) <0 #

Это означает в #f (5) # у нас есть относительный максимум, Это становится абсолютным максимумом в интервале #0, 9#, так как # У #-значение точки #(5, 1/10) = (5, 0.1)# самый высокий # У #-значение в интервале.

** Абсолютный минимум происходит на самом низком # У #-значение в конечной точке #(0,0)**.#

Каковы абсолютные экстремумы f (x) = sin (x) - cos (x) на интервале [-pi, pi]?

Каковы абсолютные экстремумы f (x) = sin (x) + ln (x) на интервале (0, 9]?

Нет максимума. Минимум равен 0. Нет максимума Как xrarr0, sinxrarr0 и lnxrarr-oo, так что lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo Так что максимума нет. Нет минимума. Пусть g (x) = sinx + lnx и заметим, что g непрерывна на [a, b] для любых положительных a и b. g (1) = sin1> 0 "" и "" g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0. g непрерывен на [e ^ -2,1], который является подмножеством (0,9]. По теореме о промежуточном значении g имеет ноль в [e ^ -2,1], который является подмножеством (0,9]. Это же число равно нулю для f (x) = abs ( sinx + lnx) (который должен быть неотрицательным для всех x в области.)

Каковы абсолютные экстремумы f (x) = x ^ (2) + 2 / x на интервале [1,4]?

Нам нужно найти критические значения f (x) в интервале [1,4]. Следовательно, мы вычисляем корни первой производной, поэтому имеем (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2, поэтому f ( 2) = 5 Также мы находим значения f в конечных точках, следовательно, f (1) = 1 + 2 = 3, f (4) = 16 + 2/4 = 16,5. Наибольшее значение функции при x = 4, следовательно, f (4) ) = 16,5 - абсолютный максимум для f в [1,4]. Наименьшее значение функции находится в точке x = 1, поэтому f (1) = 3 - абсолютный минимум для f в [1,4]. График функции f в [1 , 4]