Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Ответ:

#(0,0)# седловая точка

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # а также # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # локальные максимумы

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # а также # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # локальные минимумы

# (0, pm 1 / sqrt 2) # а также # (вечера 1 / кв.м 2,0) # точки перегиба.

Объяснение:

Для общей функции #F (х, у) # с неподвижной точкой на # (X_0, y_0) # у нас есть расширение серии Тейлор

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} эта ^ 2 + 2F_ {xy} xi эта) + лдоты #

Для функции

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

у нас есть

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Легко видеть, что обе первые производные обращаются в нуль на следующих

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Чтобы исследовать природу этих стационарных точек, нам нужно взглянуть на поведение вторых производных там.

Сейчас

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-у ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

и аналогично

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

а также

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- х ^ 2-у ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Таким образом, для #(0,0)# у нас есть # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # а также # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - следовательно

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Если вы подходите #(0,0)# вдоль линии # Х = у #Достоевский это становится

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

так что #(0,0)# Очевидно, это минимум, если вы подходите с этого направления. С другой стороны, если вы подходите вдоль линии # Х = -y # у нас есть

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

так что #(0,0)# максимум в этом направлении, таким образом #(0,0)# это точка перевала.

За # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # легко увидеть, что

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del ^ ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # а также # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Который означает, что

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Таким образом, функция уменьшается в зависимости от того, как вы уходите от # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # и это локальный максимум, Легко видеть, что то же самое относится и к # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (это должно было быть очевидно, так как функция остается неизменной при # (x, y) - (-x, -y) #!

Опять же для обоих # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # а также # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # у нас есть

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del ^ ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # а также # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Итак, обе эти точки являются локальными минимумами.

Четыре очка # (0, pm 1 / sqrt2) # а также # (pm 1 / sqrt2, 0) # более проблематичны - поскольку все производные второго порядка обращаются в нуль в этих точках. Теперь мы должны взглянуть на производные высшего порядка. К счастью, нам на самом деле не нужно очень много работать для этого - уже в следующем производном

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

который ненулевой для обоих # (0, pm 1 / sqrt2) # а также # (pm 1 / sqrt2, 0) #, Теперь это означает, что, например,

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

который показывает, что это увеличится с # f (0,1 / sqrt 2) # в одном направлении и уменьшаться от него в другом. таким образом # (0,1 / sqrt2) # ** точка перегиба. Тот же аргумент работает для других трех пунктов.