Два спутника P_ "1" и P_ "2" вращаются на орбитах радиусов R и 4R. Соотношение максимальных и минимальных угловых скоростей линии, соединяющей P_ "1" и P_ "2", составляет

Ответ:

#-9/5#

Объяснение:

Согласно третьему закону Кеплера, # T ^ 2 propto R ^ 3 подразумевает омега propto R ^ {- 3/2} #, если угловая скорость внешнего спутника #омега#это внутреннее # мега раз (1/4) ^ {- 3/2} = 8 омега #.

Давайте рассмотрим # Т = 0 # быть моментом, когда два спутника коллинеарны с материнской планетой, и давайте возьмем эту общую линию в качестве #ИКС# ось. Тогда координаты двух планет во времени # Т # являются # (R cos (8 омега т), R sin (8 омега т)) # а также # (4R cos (омега-т), 4R sin (омега-т)) #соответственно.

Позволять # Тета # быть углом, линия, соединяющая два спутника делает с #ИКС# ось. Легко видеть, что

#tan theta = (4R sin (омега-т) -Rsin (8 омега-т)) / (4R cos (омега-т) -Rcos (8 омега-т)) = (4 sin (омега-т) -син (8 омега-т)) / (4 cos (омега-т) -cos (8 омега-т)) #

Дифференцированные урожаи

# sec ^ 2 тэта (d тета) / dt = d / dt (4 син (омега-т) -син (8 омега-т)) / (4 cos (омега-т) -кос (8 омега-т)) #

# = (4 cos (омега-т) -cos (8 омега-т)) ^ - 2 раза #

#qquad (4 cos (омега-т) -cos (8 омега-т)) (4 омега-cos (омега-т) -8omega cos (8 омега-т)) - #

#qquad (4 греха омега-т (8 омега-т)) (- 4 омега греха омега-т) +8 омега-син (8 омега т)) #

таким образом

# (4 соз (омега-т) -кос (8 омега-т)) ^ 2 1 + ((4 син (омега-т) -син (8 омега-т)) / (4 соз (омега-т) -кос (8 омега т))) ^ 2 (д тета) / дт #

# = 4 омега (4 cos ^ 2 (омега-т) -9 cos (омега-т) cos (8 омега-т) + 2 cos ^ 2 (омега-т)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (омега-т) -9 sin (омега-т) cos (8 омега-т) + 2sin ^ 2 (омега-т)) #

# = 4 омега 6-9cos (7 омега т) подразумевает #

# (17 -8 cos (7 омега т)) (d theta) / dt = 12 омега (2 - 3 cos (7 омега т)) подразумевает #

# (d theta) / dt = 12 омега (2 - 3 cos (7 омега-т)) / (17 -8 cos (7 омега-т)) эквивалент 12 омега-f (cos (7 омега-т)) #

Где функция

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

имеет производную

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

и, следовательно, монотонно уменьшается в интервале #-1,1#.

Таким образом, угловая скорость # (d theta) / dt # максимум, когда #cos (7 омега т) # это минимум, и наоборот.

Так, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 омега (2 - 3 раза (-1)) / (17-8 раз (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 омега-раз 5/25 = 12/5 омега #

# ((d theta) / dt) _ "мин" = 12 омега (2 - 3 раза 1) / (17-8 раз 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 омега-раз (-1) / 9 = -4/3 омега #

и поэтому соотношение между ними составляет:

# 12/5 омега: -4/3 омега = -9: 5 #

Заметка Дело в том, что # (d theta) / dt # изменение знака является причиной так называемого явного ретроградного движения