Ответ:
Точка # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) прибл. (1.26694,1.16437) # является локальной минимальной точкой.
Объяснение:
Частные производные первого порядка # (частичное f) / (частичное x) = y-3x ^ {- 4} # а также # (частичное f) / (частичное y) = x-2y ^ {- 3} #, Установка обоих равных нулю результатов в системе # У = 3 / х ^ (4) # а также # Х = 2 / г ^ {3} #, Подстановка первого уравнения во второе дает # Х = 2 / ((3 / х ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #, поскольку #x! = 0 # в области # Е #, это приводит к # Х ^ {11} = 27/2 # а также # Х = (27/2) ^ {1/11} # чтобы # У = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) = {4/11} #
Частные производные второго порядка # (частичный ^ {2} f) / (частичный x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (частичный ^ {2} f) / (частичный y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, а также # (частичное ^ {2} f) / (частичное x частичное y) = (частичное ^ {2} f) / (частичное y частичное x) = 1 #.
Поэтому дискриминант # D = (частичное ^ {2} f) / (частичное x ^ {2}) * (частичное ^ {2} f) / (частичное y ^ {2}) - ((частичное ^ {2} f) / (частичное x частичное y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #, Это положительно в критической точке.
Поскольку чистые (несмешанные) частные производные второго порядка также положительны, отсюда следует, что критическая точка является локальным минимумом.
