Каковы экстремумы f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 на интервале [-1,3]?

Ответ:

У нас есть минимумы в # Х = 0 # и точка перегиба в # Х = 3 #

Объяснение:

Максимумы - это высшая точка, до которой функция поднимается, а затем снова падает. Таким образом, наклон касательной или значение производной в этой точке будет равно нулю.

Кроме того, поскольку касательные слева от максимумов будут наклоняться вверх, затем сглаживаться и затем наклоняться вниз, наклон касательной будет непрерывно уменьшаться, то есть значение второй производной будет отрицательным.

С другой стороны, минимумы - это нижняя точка, до которой функция падает, а затем снова поднимается. Как таковая, тангенс или значение производной в минимумах тоже будут равны нулю.

Но так как касательные слева от минимумов будут наклоняться вниз, затем сглаживаться и затем наклоняться вверх, наклон касательной будет непрерывно увеличиваться или значение второй производной будет положительным.

Если вторая производная равна нулю, у нас есть точка

Однако эти максимумы и минимумы могут быть либо универсальными, то есть максимумами или минимумами для всего диапазона, либо могут быть локализованы, то есть максимумами или минимумами в ограниченном диапазоне.

Давайте рассмотрим это со ссылкой на функцию, описанную в вопросе, и для этого давайте сначала дифференцируем #f (х) = (х ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Его первая производная дается #f '(х) = 3 (х ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6х (х ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6х ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Это будет ноль для # Х ^ 2-9 = 0 # или же #x = + - 3 # или же #0#, Из них только #{0,3}# находятся в пределах досягаемости #-1,3}#.

Следовательно, максимумы или минимумы встречаются в точках # Х = 0 # а также # Х = 3 #.

Чтобы определить, являются ли это максимумы или минимумы, давайте посмотрим на второй дифференциал, который #f '' (х) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # и, следовательно, пока

в # Х = 0 #, #f '' (х) = 486 # и положительно

в # Х = 3 #, #f '' (х) = 2430-2916 + 486 = 0 # и является точкой перегиба.

Следовательно, у нас есть локальные минимумы в # Х = 0 # и точка перегиба в # Х = 3 #

, график {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Ответ:

Абсолютный минимум #(-9)^3+10# (что происходит в #0#), абсолютный максимум на интервале #10#, (что происходит в #3#)

Объяснение:

Вопрос не указывает, должны ли мы найти относительные или абсолютные экстремумы, поэтому мы найдем оба.

Относительные экстремумы могут возникнуть только при критических числах. Критическими числами являются значения #Икс# которые находятся в области # Е # и на котором либо #f '(х) = 0 # или #f '(x) не существует. (Теорема Ферма)

Абсолютные экстремумы на замкнутом интервале могут возникать при критических числах в интервале или в точках интервала.

Поскольку функция, о которой здесь идет речь, постоянно включена #-1,3#, теорема об экстремальном значении уверяет нас в том, что # Е # должен иметь как абсолютный минимум, так и абсолютный максимум на интервале.

Критические числа и относительные экстремумы.

За #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, мы нашли #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Очевидно, что # Е '# никогда не перестает существовать, поэтому нет критических чисел такого рода.

Решение # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # дает решения #-3#, #0#, а также #3#.

#-3# не в области этой проблемы, #-1,3# так что нам нужно только проверить #f (0) # а также #f (3) #

За #x <0 #, у нас есть #f '(x) <0 # а также

за #x> 0 #, у нас есть #f '(x)> 0 #.

Итак, по первому производному тесту #f (0) # это относительный минимум. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Другое критическое число в интервале #3#, Если мы игнорируем ограничение домена, мы находим, что #f '(x)> 0 # для всех #Икс# возле #3#, Таким образом, функция увеличивается на небольших открытых интервалах, содержащих #3#, Поэтому, если мы остановимся в #3# мы достигли высшей точки в домене.

Есть не Всеобщее согласие, можно ли сказать, что #f (3) = 10 # относительный максимум для этой функции на #-1,3#.

Некоторые требуют значения с обеих сторон чтобы быть меньше, другие требуют, чтобы значения в домене с обеих сторон были меньше.

Абсолют Экстремум

Ситуация для абсолютных экстремумов на отрезке # А, Ь # намного проще

Найти критические числа в замкнутом интервале. Позвоните # c_1, c_2 # и так далее.

Рассчитать значения #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # и так далее. Наибольшее значение - абсолютный максимум на интервале, а наименьшее значение - абсолютный минимум на интервале.

В этом вопросе мы рассчитаем #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # а также #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Минимум #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # а также

максимум #f (-3) = 10 #.