Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) на интервале x, y в [-pi, pi]?

Ответ:

Объяснение:

У нас есть:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Шаг 2 - Определить критические точки

Критическая точка возникает при одновременном решении

# f_x = f_y = 0 тогда и только тогда (частичный f) / (частичный x) = (частичный f) / (частичный y) = 0 #

т.е. когда:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # одновременно

Рассмотрим уравнение A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Тогда у нас есть два решения:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Теперь воспользуемся Eq B, чтобы найти соответствующую координату:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x в RR # (желоба)

Что дает нам следующие критические точки:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 критических пункта)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 критических пункта)

# (alpha, 0) AA alpha в RR # (водосточная линия)

# (альфа, + -pi) AA альфа в RR # (2 водосточные трубы)

Рассмотрим уравнение B

# -6sinxsin2y = 0 #

Тогда у нас есть два решения:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Теперь воспользуемся Eq A, чтобы найти соответствующую координату @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (повторяется выше)

# y = 0 => x в RR # (повторение выше)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (повторяется выше)

Что не дает нам дополнительных критических точек:

Шаг 3 - Классификация критических точек

Чтобы классифицировать критические точки, мы проводим тест, аналогичный тесту одного переменного исчисления, используя вторые частные производные и матрицу Гессе.

# Дельта = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((частичное ^ 2 f) / (частичное x ^ 2), (частичное ^ 2 f) / (частичное x частичное y)), ((частичное ^ 2 f) / (частичное y частичное x), (частичное ^ 2 f) / (частично y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Тогда в зависимости от значения # Delta #:

# {: (Delta> 0, «Существует максимум, если» f_ (xx) <0), (, »и минимум, если« f_ (xx)> 0), (Delta <0, «есть седловая точка»), (Delta = 0, «Необходим дальнейший анализ»):} #

Используя пользовательские макросы Excel, значения функций вместе с частными производными вычисляются следующим образом:

Вот сюжет функции

И плоит с критическими точками (и желобами)

Каковы экстремумы и седловые точки f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Область определения: f (x) = 2x ^ 2lnx - это интервал x в (0, + oo). Оцените первую и вторую производные функции: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Критическими точками являются решения: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 и при x> 0: 1 + 2 lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) В этой точке: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, поэтому критической точкой является локальный минимум. Седловые точки являются решениями: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6, и так как f '' (x) монотонно возрастает, мы можем

Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Эта функция не имеет стационарных точек (вы уверены, что f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x - это та, которую вы хотели изучить ?!). Согласно наиболее распространенному определению седловых точек (стационарных точек, которые не являются экстремумами), вы ищете стационарные точки функции в ее области D = (x, y) в RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , у) в RR ^ 2}. Теперь мы можем переписать выражение, заданное для f, следующим образом: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x. Способ их идентификации заключается в поиске точек, которые сводят на нет градиент f, который является вектором частных производных: nabla f = ((del f

Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = 6 sin x sin y на интервале x, y в [-pi, pi]?

X = pi / 2 и y = pi x = pi / 2 и y = -pi x = -pi / 2 и y = pi x = -pi / 2 и y = -pi x = pi и y = pi / 2 x = pi и y = -pi / 2 x = -pi и y = pi / 2 x = -pi и y = -pi / 2 Чтобы найти критические точки функции с 2 переменными, необходимо вычислить градиент, который является вектором, содержащим производные по каждой переменной: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Итак, мы имеем d / dx f (x, y) = 6cos (x ) sin (y) и аналогично d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Чтобы найти критические точки, градиент должен быть нулевым вектором (0,0), что означает решение системы {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} что, конечно,