Каковы экстремумы и седловые точки f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Я не нашел седловых точек, но был минимум:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Чтобы найти экстремумы, возьмите частную производную по #Икс# а также # У # чтобы увидеть, могут ли обе частные производные одновременно равны #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Если они одновременно должны равняться #0#они образуют система уравнений:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

это линейный система уравнений, когда вычитается, чтобы отменить # У #, дает:

# 3x - 1 = 0 => цвет (зеленый) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => цвет (зеленый) (y = -2/3) #

Поскольку уравнения были линейными, была только одна критическая точка и, следовательно, только один экстремум. Вторая производная скажет нам, был ли это максимум или минимум.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Эти вторые частичные согласованы, поэтому график вогнут, вдоль #Икс# а также # У # Оси.

Значение #f (х, у) # в критической точке (подключив обратно в исходное уравнение):

# цвет (зеленый) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = цвет (зеленый) (- 1/3) #

Таким образом, мы имеем минимальный из # цвет (синий) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Теперь для кросс-производные для проверки любых седловых точек, которые могут быть вдоль диагонального направления:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Так как они оба в согласии, вместо того, чтобы быть противоположными знаками, есть без седла.

Мы можем видеть, как этот график выглядит просто для проверки: