Как найти формулу Маклаурина для f (x) = sinhx и использовать ее для аппроксимации f (1/2) в пределах 0,01?

Ответ:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

Объяснение:

Мы знаем определение для #sinh (х) #:

#sinh (х) = (е ^ х-е ^ -x) / 2 #

Так как мы знаем серию Maclaurin для # Е ^ х #мы можем использовать его для создания #sinh (х) #.

# Е ^ х = sum_ (п = 0) ^ OOX ^ п / (п!) = 1 + х + х ^ 2/2 + х ^ 3 / (3!) … #

Мы можем найти серию для # Е ^ -x # заменив #Икс# с #-Икс#:

# Е ^ -x = sum_ (п = 0) ^ оо (-x) ^ п / (п!) = Sum_ (п = 0) ^ оо (-1) ^ п / (п!) Х ^ п = 1 х + х ^ 2/2-х ^ 3 / (3!) … #

Мы можем вычесть эти два из друг друга, чтобы найти числитель # Зп # определение:

#color (белый) (- е. ^ х) е ^ х = цвет (белый) (….) 1 + х + х ^ 2/2 + х ^ 3 / (! 3) + х ^ 4 / (4) + х ^ 5 / (5!) … #

#color (белый) (е ^ х) -e ^ -x = 1 + хх ^ 2/2 + х ^ 3 / (3!) - х ^ 4 / (4!) + х ^ 5 / (5!) … #

# Е ^ х ^ х = цвет (белый) (lllllllll) 2xcolor (белый) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) Цвет (белый) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Мы видим, что все четные слагаемые отменяются, а нечетные слагаемые удваиваются. Мы можем представить эту модель следующим образом:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Для завершения #sinh (х) # серии, нам просто нужно разделить это на #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Теперь мы хотим рассчитать #f (1 / 2) # с точностью не менее #0.01#, Мы знаем эту общую форму оценки ошибки Лагранжа для полинома Тейлора n-й степени о # X = C #:

# | R_n (х) | <= | M / (! (П + 1)) (х-с) ^ (п + 1) | # где # M # верхняя граница n-й производной на интервале от # C # в #Икс#.

В нашем случае расширение представляет собой серию Маклаурина, поэтому # C = 0 # а также # x = 1 / 2 #:

# | R_n (х) | <= | M / ((п + 1)!) (1/2) ^ (п + 1) | #

Производные высшего порядка #sinh (х) # либо будет #sinh (х) # или же #cosh (х) #, Если мы рассмотрим определения для них, мы увидим, что #cosh (х) # всегда будет больше чем #sinh (х) #поэтому мы должны отработать # M #-граница для #cosh (х) #

Функция гиперболического косинуса всегда увеличивается, поэтому наибольшее значение на интервале будет #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (е ^ (1/2) + е ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = М #

Теперь мы включим это в границу ошибки Лагранжа:

# | R_n (х) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (П + 1)) (1/2) ^ (п + 1) #

Мы хотим # | R_n (х) | # быть меньше чем #0.01#поэтому мы попробуем некоторые # П # значения, пока мы не доберемся до этой точки (чем меньше количество членов в полиноме, тем лучше). Мы находим, что # П = 3 # это первое значение, которое даст нам ошибку, меньшую, чем #0.01#, поэтому нам нужно использовать полином 3-й степени Тейлора.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (п = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0.52 #