Что такое интеграл от int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

Ответ:

# 1/2 -ln (абс (SQRT (1 + е ^ (2x)) + 1)) + п (абс (SQRT (1 + е ^ (2x)) - 1)) + SQRT (1 + е ^ (2x)) + C #

Объяснение:

Сначала мы подставляем:

# = Е ^ (2x) + 1; е ^ (2x) = и-1 #

# (Ди) / (ах) = 2e ^ (2x); дх = (ди) / (2e ^ (2x)) #

#intsqrt (и) / (2e ^ (2x)) = ди intsqrt (и) / (2 (и-1)) = 1 дю / 2intsqrt (и) / (и-1) дю #

Выполните вторую замену:

# V ^ 2 = и, V = SQRT (и) #

# 2v (DV) / (ди) = 1; = ди 2vdv #

# 1 / 2intv / (V ^ 2-1) 2vdv = ИНТВ ^ 2 / (V ^ 2-1) = DV int1 + 1 / (V ^ 2-1) DV #

Разделить, используя частичные дроби:

# 1 / ((V + 1) (v-1)) = А / (V + 1) + В / (v-1) #

# 1 = А (V-1) + В (у + 1) #

# V = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 1/2 #

# V = -1 #:

# 1 = -2A #, # А = -1/2 #

Теперь у нас есть:

# -1 / (2 (у + 1)) + 1 / (2 (V-1)) #

# int1 + 1 / ((V + 1) (v-1)) = DV int1-1 / (2 (у + 1)) + 1 / (2 (V-1)) = 1 DV / 2 -ln (абс (у + 1)) + п (абс (V-1)) + V + C #

Подставляя обратно в # V = # SQRT (и):

# 1/2 -ln (абс (SQRT (и) +1)) + Ln (абс (SQRT (и) -1)) + SQRT (и) + C #

Подставляя обратно в # И = 1 + е ^ (2x) #

# 1/2 -ln (абс (SQRT (1 + е ^ (2x)) + 1)) + п (абс (SQRT (1 + е ^ (2x)) - 1)) + SQRT (1 + е ^ (2x)) + C #