Что такое интеграл от int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Ответ:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Объяснение:

Наша большая проблема в этом интеграле - корень, поэтому мы хотим от него избавиться. Мы можем сделать это, введя замену # И = SQRT (2x-1) #, Производная тогда

# (Ди) / дх = 1 / SQRT (2x-1) #

Таким образом, мы делим через (и помните, деление на обратную равносильно умножению на только знаменатель), чтобы интегрировать по отношению к # # U:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) отменить (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du #

Теперь все, что нам нужно сделать, это выразить # Х ^ 2 # с точки зрения # # U (поскольку вы не можете интегрировать #Икс# в отношении # # U):

# И = SQRT (2x-1) #

# И ^ 2 = 2x-1 #

# И ^ 2 + 1 = 2x #

# (И ^ 2 + 1) / 2 = х #

# Х ^ 2 = ((и ^ 2 + 1) / 2) = 2 ^ (и ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (и ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Мы можем вставить это обратно в наш интеграл, чтобы получить:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Это можно оценить с помощью правила обратной мощности:

# 1/4 * и ^ 5/5 + 2/4 * и ^ 3/3 + и / 4-и + С #

Повторная замена для # И = SQRT (2x-1) #, мы получаем:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #