Каковы локальные экстремумы, если таковые имеются, f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Ответ:

#(0.14414, 0.05271)# это локальный максимум

#(1.45035, 0.00119)# а также #(-1.59449, -1947.21451)# являются локальными минимумами.

Объяснение:

#f (х) = у = х ^ (х ^ 3-7x) #

# Ду / дх = х (3x ^ 2-7) е ^ (х ^ 3-7x) + е ^ (х ^ 3-7x) = е ^ (х ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. е ^ (7х-х ^ 3) = - оо,:. х = оо #

Это не квалифицируется как локальный экстремум.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Чтобы найти корни этой кубической функции, мы используем метод Ньютона-Рафсона:

#x_ (п + 1) = x_n-F (x_x) / (F '(x_n)) #

Это итеративный процесс, который приблизит нас к корню функции. Я не включаю здесь длинный процесс, но, достигнув первого корня, мы можем выполнить длинное деление и легко решить оставшийся квадратик для двух других корней.

Мы получим следующие корни:

# x = 0,14414, 1,45035 и -1,59449 #

Теперь мы выполним первый тест производной и попробуем значения слева и справа от каждого корня, чтобы увидеть положительную или отрицательную производную.

Это скажет нам, какая точка является максимальной, а какая минимальной.

Результат будет следующим:

#(0.14414, 0.05271)# это локальный максимум

#(1.45035, 0.00119)# а также #(-1.59449, -1947.21451)# являются локальными минимумами.

Вы можете увидеть один из минимумов на графике ниже:

Следующий вид показывает максимум и другой минимум: